Ecricome 2000 mathematiques classe prepa hec (s)

Description

ECRICOME 2000. Math´ematiques, option SEXERCICE 1mm est un entier sup´erieur ou ´egal `a 3. On identifie un vecteur deR `a la matrice colonne de sescoordonn´ees dans la base canonique. Toutes les matrices consid´er´ees sont `a coefficientsr´eels.tSi M est une matrice, on note M sa transpos´ee. On rappelle que pour deux matrices M et N,t t t(MN) = N M.Si M est une matrice carr´ee d’ordre m, on note respectivement E et F le noyau et l’image deM Mml’endomorphisme deR dont la matrice dans la base canonique est M.mR est muni de son produit scalaire canonique d´efini pour deux vecteurs X et Y par :t(X|Y) = XY. La norme euclidienne d’un vecteur X, associ´ee a` ce produit scalaire, est not´ee||X||.Soit n un entier sup´erieur ou ´egal `a −1. On dit qu’une matrice A carr´ee d’ordre m est det ntype n si A =A .1)a)Qu’est-ce qu’une matrice de type 0, de type 1?b)Donner un exemple, sous forme de tableau, de matrice non diagonale de type −1.On suppose d´esormais que n est strictement plus grand que 1.2) Dans cette question seulement on suppose m = 3. 0 0 0 Soit x un nombre r´eel et N(x) la matrice : 0 cos(x) –sin(x)0 sin(x) cos(x)ka)D´emontrerparr´ecurrencequepourtoutentierstrictementpositifk ona: N(x) =N(kx).b)D´eterminer alors les r´eels x tels que N(x) soit une matrice de type n.On revient au cas g´en´eralm quelconque et on consid`ere maintenant une matriceA carr´ee d’ordrem et de type n. On se propose d’´etablir quelques propri´et´es de A.2(n ...

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• Publié par: aiolos
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