EDHEC 2001 mathematiques classe prepa hec (ece)

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EDHECSchool of managementECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORDConcours d’admission sur classes prØparatoiresMATHEMATIQUESOption ØconomiqueAnnØe 2001La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : seule ul tilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.L utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectronique est interdite.Exercice 1E dØsigne un espace vectoriel rØel surR; rapportØ à sa baseB = (e ;e ;e ).1 2 3On dØsigne par a un rØel non nul et on considŁre el ndomorphisme f de E, dØ ni par :af (e ) = 0 f (e ) =f (e ) =ae +e aea 1 a 2 a 3 1 2 321. (a) Ecrire la matrice A de f relativement à la base B et calculer A .a a a(b) Montrer que 0 est la seule valeur propre de A .a(c) A est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ?a2. On pose u =ae +e ae .1 1 2 30(a) Montrer queB = (u ;e ;e ) est une base de E1 2 3 0 10 0 10 @ A(b) VØri…er que la matrice de f relativement à la baseB est K = 0 0 0 .a0 0 0Dans la suite, on cherche à caractØriser les endomorphismes g de E tels que gg =f .a03. On suppose qu un tel endomorphisme g existe et on note M sa matrice dansB .2(a) Expliquer pourquoi M =K puis montrer que MK =KM.1/30 10 x y@ A(b) DØduire de ces deux relations ...

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EDHEC School of management

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours dadmission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES Option économique Année 2001

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1 Edésigne un espace vectoriel réel surR;rapporté à sa baseB= (e 1 ; e 2 ; e 3 ). On désigne paraun réel non nul et on considère lendomorphismef a de E, déni par : f a (e 1 ) = 0f a (e 2 ) =f a (e 3 ) =ae 1 +e 2 ae 3 2 A. 1. (a)Ecrire la matriceA a def a relativement à la base B et calculer a (b) Montrerque0est la seule valeur propre deA a . (c)A a Est-elle inversible ?est-elle diagonalisable ? 2. Onposeu 1 =ae 1 +e 2 ae 3 . 0 (a) MontrerqueB= (u 1 ; e 2 ; e 3 )est une base deE 0 1 0 0 1 0 @ A (b) Vérierque la matrice def a relativement à la baseBestK 0 0= 0 . 0 0 0 Dans la suite, on cherche à caractériser les endomorphismesgde E tels quegg=f a . 0 3. Onsuppose quun tel endomorphismegexiste et on note M sa matrice dansB. 2 (a) ExpliquerpourquoiM=Kpuis montrer queM K=KM.

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