Edhecl mathematiques 2007 hec s classe prepa hec (ecs)

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SUJET MATHÉMATIQUES 2007 Option Scientifiques Exercice 1 +∞⌠ − xe⎮Pour tout n de IN *, on pose u = dx . n 1⎮ x +⌡0 n1) Montrer que la suite (u ) est bien définie. n n ∈IN*1 +∞⌠ ⌠− x − xe e⎮ ⎮2) Pour tout n de IN *, on pose alors v = dx et w = dx n n1 1⎮ ⎮x + x +⌡ ⌡0 1n n1 a) Montrer que : ∀n ∈IN *, 0 ≤ w ≤ . ne1 b) ∀n ∈IN *, v ≥ ln(n + 1). nec) Donner la limite de la suite (u ). n3) On se propose de déterminer un équivalent de u lorsque n est au voisinage de + ∞. n−x1 1 − e a) Montrer que l’intégrale I = dx est une intégrale convergente. ∫ 0 x1⌠ − x1 − e⎮ b) Établir que : ∀n ∈IN *, 0 ≤ dx ≤ I. 1⎮ x +⌡0 n c) En déduire un encadrement de v valable pour tout n de IN *. n d) Donner enfin, en utilisant cet encadrement, un équivalent simple de u . n 1Exercice 2 On considère les matrices suivantes de M (IR) : 41000 01− 00 00 −10 0001⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0100 1000 000 −1 00 −10⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟I = , J = , K = et L = . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0010 0001 1000 0100⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟0001 −10 0100 −1000⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ On note E le IR-espace vectoriel engendré par (I, J, K, L) et Id l’endomorphisme identité de E. On pose A = J + K. 1) Montrer que (I, J, K, L) est une base de E et donner la dimension de E. 2) a) Exprimer J K, K L et L J en fonction respectivement de L, J et K. 2 2 2 b) Calculer J , K et L puis en déduire que : K J = – L, L K = – J et J L = – K. c) En déduire que E est stable pour le produit ...

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• Langue: Français

Extrait

1

SUJET MATHÉMATIQUES 2007

Option Scientifiques

Exercice 1

Pour tout

n

de IN

*

, on pose

u

n

=

e

x

n

dx

x

−

+∞

+

⌠

⌡

⎮

⎮

1

0

.

1) Montrer que la suite (

u

n

)

n

∈

IN*

est bien définie.

2) Pour tout

n

de IN

*

, on pose alors

v

n

=

e

x

n

dx

x

−

+

⌠

⌡

⎮

⎮

1

0

1

et

w

n

=

e

x

n

dx

x

−

+∞

+

⌠

⌡

⎮

⎮

1

1

a) Montrer que :

∀

n

∈

IN

*

, 0

≤

w

n

≤

1

e

.

b) Montrer que :

∀

n

∈

IN

*

,

v

n

≥

1

e

ln(

n

+

1).

c) Donner la limite de la suite (

u

n

).

3) On se propose de déterminer un équivalent de

u

n

lorsque

n

est au voisinage de +

∞

.

a) Montrer que l’intégrale

I

=

1

0

1

−

−

∫

e

x

dx

x

est une intégrale convergente.

b) Établir que :

∀

n

∈

IN

*

, 0

≤

1

1

0

1

−

+

⌠

⌡

⎮

⎮

−

e

x

n

dx

x

≤

I

.

c) En déduire un encadrement de

v

n

valable pour tout

n

de IN

*

.

d) Donner enfin, en utilisant cet encadrement, un équivalent simple de

u

n

.