EML 2004 mathematiques classe prepa hec (ecs)

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EML 2004, math 1, option scientifiquePROBLEME 1Z +∞sintPartie I : Etude de la fonction x7−→x dtt+x0On note F :]0;+∞[−→R et G :]0;+∞[−→R les applications d´efinies, pour tout r´eel x∈]0;+∞[par :Z Zx xsinu cosuF(x) = du et G(x) = duu u1 1Z xcosx cosu1)a)Montrer, pour tout r´eel x∈]0;+∞[ : F(x) =− +cos1− du.2x u1En d´eduire que F admet une limite finie en +∞. On note α cette limite.b)De mani`ere analogue, montrer que G admet une limite finie en +∞. On note β cette limite.Z Z+∞ +∞sinu cosuc) En d´eduire que, pour tout r´eel x ∈]0;+∞[, les int´egrales du et duu ux xZ Z+∞ +∞sinu cosuconvergent, et que : du =α−F(x) et du =β−G(x).u ux x2)a)Montrer, pour tout r´eel x∈]0;+∞[ et tout r´eel T ∈]0;+∞[ :Z Z ZT x+T x+Tsint sinu cosudt = cosx du−sinx dut+x u u0 x xZ +∞sintb)En d´eduire que, pour tout r´eel x∈]0;+∞[, l’int´egrale dt converge et que :t+x0Z Z Z+∞ +∞ +∞sint sinu cosudt = cosx du−sinx dut+x u u0 x xOn note A :]0;+∞[7−→R l’application d´efinie, pour tout r´eel x∈]0;+∞[, par :Z +∞sintA(x) = dtt+x023) Montrer que l’application A est de classe C sur ]0;+∞[ et que, pour tout r´eel x∈]0;+∞[ :100A (x)+A(x) =x0´4) Etablir que A(x) et A (x) tendent vers 0 lorsque x tend vers +∞.Z 1cosu5)a)Montrer : ∀x∈]0;1], 06 du6−lnxuxZ +∞cosub)En d´eduire que sinx du tend vers 0 lorsquex tend vers 0 par valeurs strictementuxpositives.Z Z+∞ +∞sinu sinuc) Montrer que l’int´egrale du converge, et´etablir queA(x) tend vers duu u0 0lorsque x tend ...

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• Publié par: aiolos
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• Langue: Français

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