EML 2005 mathematiques classe prepa hec (ece)

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EML 2005, math 1, option ´economiqueEXERCICE 1On consid`ere les ´el´ements suivants deM (R) :3     1 0 0 0 1 0 0 0 1     I = 0 1 0 , J = 0 0 1 , K = 0 0 00 0 1 0 0 0 0 0 0On note E le sous-espace vectoriel deM (R) engendr´e par I, J et K.30Pour toute matrice M de E, on note M = I, et si M est inversible, on note, pour tout entier−k −1 k k k −1 −knaturel k, M = (M ) , et on rappelle qu’alors M est inversible et que (M ) =M .1) D´eterminer la dimension de E.2 22) Calculer J , JK, KJ et K .3) Soit la matrice L =I +J.a) Montrer, pour tout entier naturel n :n(n−1)nL =I +nJ + K2b)V´erifier que L est inversible et montrer, pour tout entier relatif n :n(n−1)nL =I +nJ + K2n 2c) Exprimer, pour tout entier relatif n, L a` l’aide de I, L , L et n. 0 2 –13 On consid`ere la matrice A = 1 0 1 de M (R) et on note f l’endomorphisme de R32 –3 33 3repr´esent´e par la matrice A dans la base canonique deR et e l’application identique deR danslui-mˆeme.4) Montrer que f admet une valeur propre et une seule que l’on d´eterminera.Est-ce que f est diagonalisable?5)a)Soit w = (1,0,0).Calculer v = (f−e)(w) et u = (f−e)(v).3Montrer que (u,v,w) est une base deR .b)D´eterminer la matrice associ´ee a` f relativement `a la base (u,v,w).3 nc) Montrer que f est un automorphisme de R et, pour tout entier relatif n, exprimer f `a2l’aide de e, f, f et n.EXERCICE 2On consid`ere l’application f :R→R, d´efinie, pour tout r´eel t, par :(0 si t6 01f(t) = si t> ...

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EML2005,math1,option´economique

EXERCICE 1 Onconside`relese´l´ementssuivantsdeM 3 (R) :      1 0 00 1 00 0 1      I1 0= 0, J= 00 1, K= 00 0 0 0 10 0 00 0 0 On noteEle sous-espace vectoriel deM 3 (Rrdneape´rgne)I,JetK. 0 Pour toute matriceMdeE, on noteM=I, et siMest inversible, on note, pour tout entier −k−1k kk−1−k naturelk,M= (M) ,et on rappelle qu’alorsMest inversible et que (M) =M. 1)idalrenidnoisnemermte´eDE. 2 2 2)CalculerJ,J K,KJetK. 3)Soit la matriceL=I+J. a)Montrer, pour tout entier natureln: n(n−1) n L=I+nJ+K 2 b)euqrefiire´VLest inversible et montrer, pour tout entier relatifn: n(n−1) n L=I+nJ+K 2 n2 c)Exprimer, pour tout entier relatifn,Ledia’la`edI,L,Letn.   0 2–1   3 Onconsid`erelamatriceAde0 1= 1M 3 (R) et on notefl’endomorphisme deR 2 –33 3 3 repr´esente´parlamatriceAdans la base canonique deRetel’application identique deRdans lui-mˆeme. 4)Montrer quefra.mine’leuqelurete´dnoprrorpeusenetueeunetalevdma Est-ce quef?est diagonalisable 5)a)Soitw= (1,0,0). Calculerv= (f−e)(w) etu= (f−e)(v). 3 Montrer que (u, v, w) est une base deR. b)a´ee`osicecsatairlrmanemieretD´fvemelatire(esa`tnabalu, v, w). 3n c)Montrer quefest un automorphisme deRet, pour tout entier relatifn, exprimerf`a 2 l’aide dee,f,fetn.

EXERCICE 2 Onconside`rel’applicationf:R→Rel´etrourtp,uonfieid,e´t, par : ( 0 sit60 1 f(t) = sit >0 2 (1 +t) 1)rTcarel’alluredelacourerebe´rptnesvitaeedf. 2)Montrer quefutensetie´edsnobabdepr´e.ilit Z x 3)rertnoMruop,euqeer´uttolxngtr’´iee,lalf(t) dtte,eclacnocgrevla.eeint´egrulercett −∞ On distinguera les casx60etx >0. Z α 1 4)rnurenimrete´Dtifposi´eelαtel quef(t) dt= . 2 0 5)Soitx∈[0,+∞e.´xfi[ Z x+u Onconsid`erelafonctionϕ x esur[0;+´dfiein∞[ par :∀u∈[0,+∞[, ϕ x (u) =f(t) dt. x−u