Esc 2004 mathematiques classe prepa hec (stg) mathematiques 2004 classe prepa hec (stg)

Description

EXERCICE 1 2 0 0æ öæ - 5 6 3ö æ 1 0 0ö æ1 1 1 öç ÷1 ç ÷ ç ÷ ç ÷On donne les matrices : A = - 3 4 3 , I = 0 1 0 , D = 0 -1 0 et P = 1 0 1 . ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷2 ç ÷ ç ÷ ç ÷ç ÷- 3 6 1 0 0 1 1 1 -1Ł ł Ł ł 0 0 -1 Ł łŁ łPartie A -1æ öæ 1 ö ç 2 ÷ç ÷-1 ç ÷1. Montrer que la matrice P est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que P 0 = 1 . ç ÷ç ÷ç ÷ 1ç ÷0Ł ł Ł 2 łn2. (a) Donner D en fonction de n pour tout entier naturel n. 1æ öç ÷n -1 (b) En déduire l'expression de D P 0 en fonction de n. ç ÷ç ÷0Ł ł-1 n n -13. (a) Vérifier que A = PDP puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : A = PD P . 1æ öç ÷n(b) En déduire l’expression de A 0 en fonction de n pour tout entier naturel n. ç ÷ç ÷0Ł ł Partie B Les suites ( x ), ( y ) et ( z ) sont définies par les conditions initiales x = 1, y = 1 et z = 0 n n n 0 005 3ì x = - x + 3y + z - 3n +1 n n nï 2 2ï 3 3et par les égalités : pour tout entier naturel n. y = - x + 2y + z - 1í n +1 n n n2 2ï3 1ï z = - x + 3y + z - 3n +1 n n nî 2 2æ öæ - 3ö xnç ÷ç ÷On pose B = -1 et pour tout entier naturel n : X = ç y ÷ . ç ÷ n nç ÷ç ÷- 3 zŁ ł Ł n ł 1. Justifier pour tout entier naturel n l’égalité : X = AX + B relation (1) n +1 n 2. On se propose de trouver la matrice colonne U ˛ (IR) telle que : U = AU + B relation (2) 3,1 (a) Montrer que la relation (2) équivaut à (I - A)U = B . 0æ öç ÷ (b) Calculer la matrice A(I - A) . En déduire ...

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 765
• Langue: Français

Extrait

EXERCICE 1

On donne les matrices :





















-

-

-

=

1

6

3

3

4

3

3

6

5

2

1

A

,





















=

1

0

0

0

1

0

0

0

1

I

,





















-

-

=

1

0

0

0

1

0

0

0

2

D

et





















-

=

1

1

1

1

0

1

1

1

1

P

.

Partie A

1. Montrer que la matrice

P

est inversible et calculer sa matrice inverse. Vérifier que

























=





















-

-

2

1

2

1

1

1

0

0

1

P

.

2.

(a) Donner

n

D

en fonction de

n

pour tout entier naturel

n

.

(b) En déduire l'expression de





















-

0

0

1

1

P

D

n

en fonction de

n

.

3.

(a) Vérifier que

1

-

=

PDP

A

puis montrer par récurrence que pour tout entier naturel

n

:

1

-

=

P

PD

A

n

n

.

(b) En déduire l’expression de





















0

0

1

n

A

en fonction de

n

pour tout entier naturel

n

.

Partie B

Les suites (

n

x

), (

n

y

) et (

n

z

) sont définies par les conditions initiales

1

0

=

x

,

1

0

=

y

et

0

0

=

z

et

par les égalités :















-

+

+

-

=

-

+

+

-

=

-

+

+

-

=

+

+

+

3

2

1

3

2

3

1

2

3

2

2

3

3

2

3

3

2

5

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

z

y

x

z

z

y

x

y

z

y

x

x

pour tout entier naturel

n

.

On pose





















-

-

-

=

3

1

3

B

et pour tout entier naturel

n

:





















=

n

n

n

n

z

y

x

X

.

1.

Justifier pour tout entier naturel

n

l’égalité :

B

AX

X

n

n

+

=

+

1

relation (1)

2.

On se propose de trouver la matrice colonne

)

(

1

,

3

R

I

U

∈

telle que :

B

AU

U

+

=

relation (2)

(a)

Montrer que la relation

(2)

équivaut à

B

U

A

I

=

-

)

(

.

(b)

Calculer la matrice

)

(

A

I

A

-

. En déduire que :

AB

U

=

-

2

puis , que





















=

0

1

0

U

.

3.

(a)

A l’aide de s relations

(1)

et

(2)

, montrer que :

)

(

1

U

X

A

U

X

n

n

-

=

-

+

.

(b)

En déduire, par récurrence, que pour tout entier naturel

n

on a

:

)

(

0

U

X

A

U

X

n

n

-

=

-

.

4. En utilisant l’expression obtenue dans la

partie A

, question 3(b) , calculer

n

x

,

n

y

et

n

z

, en fonction de

n

.