Eslsca 2006 mathematiques classe prepa hec (ece) mathematiques 2006 classe prepa hec (ece)

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COLE SUP RIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉESMATHÉMATIQUES 1Łre PREUVEOPTIONS : ECONOMIQUEEXERCICE1OnnoteRel nsembledesnombresrØelset Nceluidesnombresentiersnaturels. OnconsidŁrelafonctionf :R!RdØ…nie par la formule suivante :1f(x) = (exp(x)+exp( x)):5On rappelle que 2;716e6 2;721. Etudier les variations de f, donner sa reprØsentation graphique et prØciser la nature des branches in nies decelle-ci.12. RØsoudre l’Øquation : f(x) =213. RØsoudre l’inØquation : f(x)62124. Calculer l aire A du domaine =f(x;y)2R = f(x)6y6 g25. On appelle point …xe de f tout nombre tel que f() = . On se propose d’Øtudier les points …xes de fpar le biais d une fonction auxiliaire g dØ…nie par g(x) =f(x) x.0 00(a) Donner le tableau de variation de la dØrivØe g de g aprŁs Øtude du signe de la dØrivØe seconde g .0(b) En dØduire qu’il existe un unique t2R tel que g (t) = 0, sans essayer de le calculer.(c) Encadrer t entre deux entiers consØcutifs.(d) Calculer t.0(e) Donner le tableau de signe de g puis dresser le tableau des variations de g. Montrer que g admet unminimum strictement nØgatif.(f) En dØduire que f admet exactement deux points …xes.6. On se restreindra dØsormais à l intervalle I = [0;1]. Montrer que f n admet qu un seul point …xe 2I.7. Montrer que l intervalle I est stable par f.8. On dØ nit une suite par la donnØe de u 2I et la relation de rØcurrence u =f(u ) pour tout n2N.0 n+1 nDØmontrer que les u appartiennent tous à I.n109. ...

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Extrait

ÉCOLE SUPÉRIEURE LIBRE DES SCIENCES COMMERCIALES APPLIQUÉES

MATHÉMATIQUES 1ère ÉPREUVE

OPTIONS : ECONOMIQUE

EXERCICE 1 On noteRlensemble des nombres réels etNcelui des nombres entiers naturels.On considère la fonctionf:R!R dénie par la formule suivante : 1 f(x(exp() =x) + exp(x)): 5 On rappelle que2;716e62;72 1. Etudierles variations def, donner sa représentation graphique et préciser la nature des branches innies de celle-ci. 1 2. Résoudreléquation :f(x) = 2 1 3. Résoudrelinéquation :f(x)6 2 1 2 4. CalculerlaireAdu domaine =f(x; y)2R= f(x)6y6g 2 5. Onappelle point xe deftout nombretel quef() =se propose détudier les points xes de. Onf par le biais dune fonction auxiliairegdénie parg(x) =f(x)x.

0 00 (a) Donnerle tableau de variation de la dérivéegdegaprès étude du signe de la dérivée secondeg. 0 (b) Endéduire quil existe un uniquet2Rtel queg(t) = 0, sans essayer de le calculer. (c) Encadrertentre deux entiers consécutifs. (d) Calculert. 0 (e) Donnerle tableau de signe degpuis dresser le tableau des variations deg. Montrerquegadmet un minimum strictement négatif. (f) Endéduire quefadmet exactement deux points xes.

6. Onse restreindra désormais à lintervalleI= [0;1]. Montrerquefnadmet quun seul point xe2I.

7. Montrerque lintervalleIest stable parf.

8. Ondénit une suite par la donnée deu 0 2Iet la relation de récurrenceu n+1 =f(u n )pour toutn2N. Démontrer que lesu n appartiennent tous àI. 1 0 9. Démontrerque :8x2I;jf(x)j6: 2 1 10. Endéduire que8n2N;ju n+1 j6ju n j. Acheverlétude de(u n ). 2

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