Essec 1999 mathematiques ii classe prepa hec (ece) mathematiques ii 1999 classe prepa hec (ece)

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ESSECM B ACONCOURS D’ADMISSIONOption ØconomiqueMATHEMATIQUES IIIAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toute calculatrice et de tout matØriel Ølectroniqueest interdite. Seule l utilisation d’une rŁgle graduØe est autorisØe.Si au cours de l’Øpreuve un candidat repŁre ce qui lui semble une erreur d ØnoncØ, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu il sera amenØ à prendre.L objectifdeceproblØmeestl ØtudedelamodØlisationdel accroissementd unepopulation, tantparlesnaissancesque par l immigration.Cette Øtude est e⁄ectuØe dans la partie II, tandis que, dans la partie I, on Øtablit un rØsultat probabilisteprØliminaire.Partie I1. Etude des sØries dØrivØes de la sØrie gØomØtrique.Dans toute cette question, on dØsigne par x un nombre rØel x tel que 06x< 1.(a) Calculer pour tout nombre entier naturel n les deux sommes suivantes:n nX Xk k 1x et kxk=0 k=1n n(b) DØterminer la limite de x et de nx , et des deux sommes prØcØdentes quand n tend vers +1.On admettra alors qu il est licite, pour 06x< 1 de dØriver terme à terme Øl galitØ classique:+1X 1mx =1 xm=01/4autrement dit, que l’on a pour ...

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Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS DADMISSION

Option économique

MATHEMATIQUESIII

Année 1999

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.

Lobjectif de ce probléme est létude de la modélisation de laccroissement dune population, tant par les naissances que par limmigration.

Cette étude est e¤ectuée dans la partie II, tandis que, dans la partie I, on établit un résultat probabiliste préliminaire.

Partie I 1. Etudedes séries dérivées de la série géométrique. Dans toute cette question, on désigne parxun nombre réelxtel que06x <1. (a) Calculerpour tout nombre entier naturelnles deux sommes suivantes: n n X X k k1 xetkx k=0k=1 n n (b) Déterminerla limite dexet denx, et des deux sommes précédentes quandntend vers+1. On admettra alors quil est licite, pour06x <1de dériver terme à terme légalité classique: +1 X 1 m x= 1x m=0

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