ESSEC 2001 mathematiques i classe prepa hec (ect)

Description

ESSECMBACONCOURS D’ADMISSIONOption technologiqueMATHEMATIQUESILa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es a` encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copie etpoursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e a` prendre.Exercice 1 (Etude de placements)erOn place sur un compte r´emun´er´e au taux d’int´erˆet annuel de 5% une somme S au 1 Janvier de l’ann´ee 0, puisneron verse au 1 Janvier de chacune des ann´ees suivantes la mˆeme somme S.Pour tout nombre entier naturel n, on d´esigne par S la somme (int´erˆets compris bien entendu) dont on disposener eme`sur ce compte au 1 Janvier de la n ann´ee de placement.1. Expression de la somme S obtenue au premier Janvier de l’ann´ee nn(a) Pr´eciser les sommes S et S .0 1(b) Etablir pour tout nombre entier naturel n la relation S = 1.05S +S.n+1 n(c) Pour tout nombre entier naturel n, on pose ici T =S +20S.n nExprimer T en fonction de T , puis en d´eduire T et S en fonction de S et de n ...

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Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS D’ADMISSION

Option technologique

MATHEMATIQUES I

Lapr´esentation,lalisibilite´,l’orthographe,laqualite´delare´daction,laclart´eetlapr´ecisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appr´eciationdescopies. Lescandidatssontinvite´s`aencadreruderssopelbirseldalanssumeaccllu.s´esultatsdeleurs Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riele´lectronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradue´eestautoris´ee. Siaucoursdel’´epreuveuncandidatrep`erecequiluisembleuneerreurd’e´nonce´,illesignalerasursacopieet poursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamen´ea`prendre.

Exercice 1 (Etude de placements) er Onplacesuruncomptere´mun´ere´autauxd’int´erˆetannuelde5%unesommeS n ardie’aelu1nvJa,pe0´ennsui er onverseau1Janvierdechacunedesann´eessuivanteslamˆemesommeS. Pour tout nombre entier naturelnra,ond´esignepS n alosmm(eni´tessiopndtoon)dduenntneeibsirpmocsteˆre er e`me sur ce compte au 1Janvier de lanemact.enee´nlpedna 1. Expressionde la sommeS n lp’raenmni´eereJbatnevniueeradeuon (a)Pre´ciserlessommesS 0 etS 1 . (b) Etablirpour tout nombre entier naturelnla relationS n+1 = 1.05S n +S. (c) Pourtout nombre entier natureln, on pose iciT n =S n + 20S. ExprimerT n+1 en fonction deT n riee´udui,pndseT n etS n en fonction deSet den. (d)De´terminerlapluspetitevaleurdel’entiernaturelnpour laquelleS n >15S. −2 Ondonneaceteffeta`10pre`sles´egalite´s:ln(35)=3,55,ln(21) = 3,04,ln(1,05) = 0,05. 2.Modificationdutauxd’int´ereˆtannuelduplacement Onreprendlasituationpr´ec´edente,maisletauxd’int´ereˆtannuelestmaintenante´gal`a10%(etnonplus`a 5%commepr´ec´edemment). (a) ExprimerS n+1 en fonction deS n uirede´dnesiup,S n en fonction deSet den. (b)D´eterminerlapluspetitevaleurdel’entiernaturelnpourlaquelleS n >15S. −2 Ondonnea`ceteffeta`10pr`esles´egalit´es:ln(25)=3,22,ln(11) = 2,40,ln(1,1) = 0,10.

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