ESSEC 2003 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

Description

CONCOURS D’ADMISSION DE 2003Option ´economiqueMATHEMATIQUES IILundi 12 mai 2003 de 8h `a 12hLa pr´esentation, la lisibilit´e, l’orthographe, la qualit´e de la r´edaction, la clart´e et la pr´ecision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l’appr´eciation des copies.Les candidats sont invit´es `a encadrer dans la mesure du possible les r´esultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d’aucun document; l’utilisation de toute calculatrice et de tout mat´eriel ´electroniqueest interdite. Seule l’utilisation d’une r`egle gradu´ee est autoris´ee.Si au cours de l’´epreuve un candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il le signalera sur sa copieet poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amen´e `a prendre.L’objectif du probl`eme est d’´etudier les rudiments de lath´eoriedelacommunication - ou th´eoriede l’information - introduite en 1948 par Claude Shannon.D´efinitions et notations(Ω,A,P) d´esigne un espace probabilis´e.ln(x)ϕ est la fonction d´efinie sur ]0,1] par x7→ϕ(x) =− .ln(2)Pour un ´ev´enement A de probabilit´e non nulle, on pose i(A) =ϕ(P(A)).h est la fonction d´efinie sur [0,1] parln(x)h(0) = 0 et pour x∈]0,1], h(x) =−xln(2)Pourunevariableal´eatoireX discr`eted´efiniesur(Ω,A,P)`avaleursr´eelles,onposesousr´eserved’existence : XH(X) = h(P(X =x))x∈X(Ω)Si X est a` valeurs dans un ensemble fini{x ,x ,...,x }, alors H(X) existe et,1 2 nen notant p =P(X =x ), on a :k kn ...

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Extrait

CONCOURS D’ADMISSION DE 2003

Option´economique

MATHEMATIQUES II

Lundi12mai2003de8h`a12h

Lapr´esentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclart´eetlapre´cisiondesraisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadreradalsnlccarseus.ulelrse´ustltadslemesuredupossible Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument;l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel´electronique estinterdite.Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e. Siaucoursdel’´epreuveuncandidatrepe`recequiluisembleˆetreuneerreurd’e´nonce´,illesignalerasursacopie etpoursuivrasacompositionenexpliquantlesraisonsdesinitiativesqu’ilseraamen´ea`prendre.

L’objectifduproble`meestd’e´tudierlesrudimentsdelammoccinueiroaledth´eioatn´ethieorou- de l’information - introduite en 1948 par Claude Shannon.

De´finitionsetnotations (Ω,A, Pgisenuenapserpecobabilis´e.d´) ln(x) ϕfanotcoidne´nfiei0]ersutsl,1] parx7→ϕ(x) =−. ln(2) Pourun´eve´nementAt´enbilirobadepopnoesunno,elli(A) =ϕ(P(A)). htlessur[0dne´nfieifanotcoi,1] par ln(x) het pour(0) = 0x∈]0,1], h(x) =−x ln(2) Pourunevariableale´atoireXr(Ωiesu´efinetedid`rcs,A, Prse´elrua`av)ussosepoons,leelevrese´r d’existence : X H(X) =h(P(X=x)) x∈X(Ω) SiXlavasruesnadnenumbsefinleiest`{x 1 , x 2 , . . . , x n }, alorsH(X) existe et, en notantp k =P(X=x k ), on a : n n X X H(X) =h(P(X=x k )) =h(p k ) k=1k=1 Remarque:Enthe´oriedel’information,i(A)tspaep´leetnemene´ve´l’dedetutiernciAetH(X)est l’incertitude moyenne- ouentropie- deX.

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