ESSEC 2004 mathematiques ii classe prepa hec (ece)

Description

bbaaESSEC Mathématiques II OPTION ÉCONOMIQUE CONCOURS 2004 La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document. L’usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée. Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre. Notations Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On note E = {1 ; 2 ; ... ; n} = 1 ; n et Ω l’ensemble des permutations sur E . Pour tout ensemble fini n nA , on note card(A) son cardinal, c’est à dire son nombre d’éléments. n ! si 0 ≤kn≤n k kn!−k!On note , ou C , le nombre () nk  0 sinonOn rappelle enfin la formule de Poincaré, sous sa forme ensembliste : soit A un ensemble de cardinal fini, et A ; A ; ... ; A des sous-ensembles de A . Alors 1 2 n n nk −1  cardA = −1 cardA ∩ A ∩ ... ∩ A ()∪ii∑∑i12 k ki=≤11

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Extrait

ESSEC MathématiquesII OPTION ÉCONOMIQUECONCOURS 2004 La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d’aucun document.L’usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve. Seule l’utilisation d’une règle graduée est autorisée . Si au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il sera amené à prendre. Notations Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2. On noteE n = {1 ; 2 ; ... ;n} =a1 ;nb etΩ l’ensemble des permutations surE n . Pour tout ensemble fini Acard(, on noteA) son cardinal, c’est à dire son nombre d’éléments.  n! si 0  n  k ≤k≤n  k! ( n−k ) ! On note, ouC, le nombre    n k    0 sinon  On rappelle enfin la formule de Poincaré, sous sa forme ensembliste : soitA un ensemble de cardinal fini, et A 1 ; A 2 ; ... ; A n des sous-ensembles de A . Alors  n  n     k−1   card A= ( −1 ) card A∩A∩ ... ∩A      ∪  ∑ ∑  1 2k  i  i ii   i=1  k = 1 1 ≤ i < i < ... < i ≤ n 1 2k Partie I 1°) Rappeler la valeur decard(Ω) . Pour touti,i∈E n  , on poseA i ={ω|ω∈Ω,ω(i) =i} 2°) Montrer que pour tout k ∈ E n pour tout et i 1 ; i 2 ; ... ; i k tels que1≤ i 1 < i 2 < ... < i k ≤ n    k      card  A  = ( n−k ) !  ∩ j  i   j=1       s=car... ∩∩ ∩ ∑ 1 2 En déduire, pour toutk∈E n la valeur de , k d  A i A i A i k      1≤i<i< ... <i≤n 1 2k 3°) On noteD n; 0 ={ω|ω∈Ω,∀i∈E n  ,ω(i)≠i} i    n  n   ( −1 ) a) Montrer qued= card (D n; 0 ) =n!−cardA=n  !     i ∪ 1   i ∑ 0 i  i  =  = !   Pour toutk∈E n  , on appelleD n;k  l’ensemble formé desω∈Ω tels qu’il existei 1 ;i 2 ; ... ;i k   toutj∈1 ;kω  i  =i, et pour toutl tels que 1≤i 1 <i 2 < ... <i k ≤net tel que poura b , on a j j   E n \{i 1 ;i 2 ; ... ;i k }, on aω(l)≠ l.  n    b) Montrer que pouD) =ard dr toutk∈E n  ,d k  = card ( n;k   c  n−k; 0    k    k+1   k+2  n−k  n  = −+ +... +−c) Vérifier que pour toutk∈Ed s   s +   s + ( 1 )   s n kk k1k2n k kk     4°) On posed 0 =s 0 = 0 . a) Écrire la matrice du système d’équations qui donne(d 0 ;d 1 ; ... ;d n ) en fonction de (s 0 ;s 1 ; ... ;s n ). b) En se plaçant dans l’espace vectoriel R n [X] des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àn , donner l’expression de l’endomorphisme représenté, dans la base canonique, par la transposée de cette matrice.

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