FESIC 2001 concours commun post bac s

Description

Concours d’entr´ee FESIC 2001Dans toute question ou` il intervient le plan (respectivement l’espace) est−→ →−rapport´e`aunrep`ere orthonormal direct (O, ı, )=(O xy) (respective- →−−→ →−ment O, ı, , k =(Oxyz)).Exercice 1Soit f la fonction d´efinie sur I = ]−∞, 1] par√f(x)=2x 1− xetC sa courbe repr´esentative. On d´esigne par T la tangente `alacourbeC aupoint d’abscisse x=0.2− 3xa) Pour tout x<1, on a : f (x)=√ .1− x√4 3b) Pour tout x∈ I, on a : f(x) .9c) Une ´equation cart´esienne de T est y =2x.d) La courbeC est au-dessus de T.Exercice 2Soit f et g les fonctions d´efinies sur I = ]−∞, 1] par−x xf(x)=ln(x+1)+e et g(x)=e − (x+1).a) La fonction g est positive sur I.−xeb) Pour tout x∈ I, on a : f (x)= g(x).x+1c) La fonction f est bijective de I sur ]0, +∞[.d) Il existe un unique r´eel α dans I tel que f(α)=0.Exercice 3Soit f la fonction d´efinie surR parxf(x)=(−x+3)e ,Concours FESIC 2001 2et C sa courbe repr´esentative.a) Pour tout x>0, on a : f(x)−x+3.b) La droite d’´equation y = 0 est asymptote al` acourbeC.c) La fonction f admet un unique extremum.2d) Pour tout r´eel m =e,l’´equation f(x)=m admet soit 0 soit 2solutions.Exercice 4Soit f la fonction d´efinie par 2x xf(x)=ln e − e +1 ,D son ensemble de d´efinition et C sa courbe repr´esentative.a) On a :D =R.−x −2xb) Pour tout x∈D,ona:f(x)=2x+ln(1− e +e ).c) La courbe C admet la droite d’´equation y =2x comme asymptote en+∞.d) La courbeC admet une unique tangente ...

Sujets

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Extrait

Concoursd’entr´eeFESIC2001

Danstoutequestionou`ilintervientleplan(respectivementl’espace)est −→−→ rapporte´a`unrep`ereorthonormaldirect(O, , ı) = (Oxy) (respective-   −→ −→−→ ment O, ı, k, = (Oxyz) ).

Exercice 1 SoitfcnitalofI=]esurefiniond´− ∞,1] par

f(x) = 2x1−x etCise´penglTranataesr´taenvetind.Ogente`alacourbeeperrbouacsCau point d’abscissex= 0. 2−3x  a)Pour toutx <1, on a :f(x) =. 1−x 4 3 b)Pour toutx∈I, on a :f(x). 9 c)neenTedertcasi´eauqenoitts´enUy= 2x. d)La courbeCest au-dessus de T.

Exercice 2 Soitfetgsdontincfoesl]ru=Ieisse´nfi− ∞,1] par

−x x f(x) = ln(x+ 1) + eetg(x) = e−(x+ 1). a)La fonctiongest positive sur I. −x e  b)Pour toutx∈I, on a :f(x) =g(x). x+ 1 c)La fonctionfest bijective de I sur ]0,+∞[. d)ree´inuqueunixtseellIαdans I tel quef(α) = 0.

Exercice 3 Soitfnfieiusr´endioctonaflRpar

x f(x) = (−x+ 3)e,