GEIPI mathematiques 2000

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TerminaleS mai2000 Concours Geipi 2000 CorrectiondansSujets corrigés de Maths, Ecoles d’ingénieurs, Ellipses, 2002.1. Exercice 1 (15 points) PartieA22x 2Onconsidèrel'application g de[0; +∞[dansR définiepar g(x)= − ln(x +1) oùlndésignela2x +1fonctionlogarithmenépérien.1.a.Déterminerlalimitedeg(x)quandx tendvers+∞.b.Calculerladérivéedegetdonnerletableaudevariationdeg.2.a.Montrerque,surl'intervalle[1;+∞[,l'équationg(x)=0admetunesolutionuniqueα .−1b.Donnerunevaleurapprochéedeαà10 prèsetjustifierlaréponse.+3.PréciserlesignedegsurR .PartieB2ln(x +1)Soit f la fonction définie sur [0;+∞ [ par f (x)= si x > 0, f (0)= 0 et soit (C) la courbexr rreprésentativedefdansunrepèreorthonormal O ;i ,j .( )f (x)−f (0)1.a.Calculer lim .DétermineruneéquationdelatangenteT à(C)aupointd'abscisse0.0x→0 xb.Montrerque lim f (x)= 0 etque lim f (x)= 0 .x→0 x→+∞2.a.Calculerf '(x)etdonnerunerelationliantf ’(x)etg(x)pourx>0.2αb.SoitαleréeldéfiniàlaquestionA.2.a.Établirquef (α)= .2α +1c.Donnerletableaudevariationdefettracerlacourbe(C).PartieCxOnconsidèrelafonctionFdéfiniesur[1;+∞[parF(x)= f(t)dt .∫ 12 21.Montrerque,pourtoutxdel’intervalle[1;+∞[, ln(x )< ln(x +1) .EndéduireleréelAtelque,pour2ln x ln(x +1)x >1, ...

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Extrait

  Terminale S

 

 

             Correction dans       .  

     Partie A

 

 

mai 2000

 

; +∞ dans [R dg x)= x 2x + 2 1 −ln(x 2 +1) où ln désigne la On considère l'applicationde [0 éfinie par( 2 fonction logarithme népérien. 1. a. Déterminer la limite de() quandtend vers +∞. b. Calculer la dérivée deet donner le tableau de variation de. 2. a. Montrer que, sur l'intervalle [1 ; +∞[, l'équation() = 0 admet une solution unique α   b. Donner une valeur approchée de α à 10 −1 près et justifier la réponse. + 3. Préciser le signe desurR. Partie B

Soit la ; + fonction définie sur [0∞ [ parf(x)= ln(x 2 +  is  )1 x>0,f(0)=0 et soit (C) la courbe x  représentative dedans un repère orthonormalO;i,j.

1. a. Calculerlim f(x)−f(0) . Déterminer une équation de la tangente T 0 à (C) au point d'abscisse 0. x→0 x b. Montrer quelimf(x)=0et quelimf(x)=0. x→0x→+∞ 2. a. Calculer'() et donner une relation liant’() et() pour> 0 . b. Soit α le réel défini à la question A. 2.a. Établir quef( α )= α 2 2 α +1 . c. Donner le tableau de variation deet tracer la courbe (C). Partie C

x On considère la fonctiondéfinie sur [ 1 ; +∞[ parF(x)=f(t)dt. 1

1. Montrer que, pour toutde l’intervalle [ 1 ; +∞[,ln(x 2 )<ln(x 2 +1). En déduire le réeltel que, pour A lnx < ln(x 2 +1) . > 1,.    x x 2. Calculer, pourx≥1, l'intégraleI(x)= x lnt dt. On explicitera le calcul et on trouvera() de la forme 1 t () =
(ln) ! . 3. a. A l'aide des questions C.1. et C.2., déterminer une fonction ϕ telle que, pour toutx≥1, ϕ (x)≤F(x). b. En déduire la limite de() quandtend vers +∞. Justifier la réponse. 4. Déterminer la dérivée'() de() et donner le tableau de variation de la fonction 

    

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