GEIPI mathematiques 2004

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Le sujet comporte 15 pages num´erot´ees de 1 `a 15EXERCICE I - (12 points)Donner les r´eponses `a cet exercice dans les cadres pr´evus ci-dessousPartie AOn s’int´eresse `a la production d’un arbre fruitier donn´e.On sait que lors de l’ann´ee 2000, l’arbre a donn´e une bonne r´ecolte.Pour tout entier n2N, on note :-B l’´ev´enement“l’arbre donne une bonne r´ecolte durant l’ann´ee 2000+n”,n-M l’´ev´enement“l’arbre donne une mauvaise r´ecolte durant l’ann´ee 2000+n”.nSi lors de l’ann´ee 2000+n l’arbre donne une bonne r´ecolte, l’ann´ee suivante, il donne une1 2bonne r´ecolte avec la probabilit´e et il en donne une mauvaise avec la probabilit´e .3 3Si par contre lors de l’ann´ee 2000+n l’arbre donne une mauvaise r´ecolte, l’ann´ee2suivante, il donne une bonne r´ecolte avec la probabilit´e et il en donne une mauvaise avec31la probabilit´e .3I-A-1- On noteP (A) la probabilit´e de l’´ev´enement A sachant que l’´ev´enement BBest r´ealis´e.Donner, pour tout entier n2N, les probabilit´es conditionnelles suivantes :P (B ); P (B ); P (M ); P (M ):B n+1 M n+1 B n+1 M n+1n n n nI-A-2- Pour tout entier n2N, on notep la probabilit´e de l’´ev´enement B etq lan n nprobabilit´e de l’´ev´enement M , c’est `a dire : p =P(B ) etq =P(M ).n n n n nI-A-2-a- Donnerp etq .0 0I-A-2-b- Donner pour tout entier n2N, la valeur de p +q .n nI-A-3-a- Pourtoutentiern2N,d´eterminerlesprobabilit´esP(B \B )etP(B \M )n+1 n n+1 nen fonction de p et deq .n nREPONSES A L’EXERCICE I1 ...

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Lesujetcomporte15pagesnumeroteesde1a15 EXERCICE I - (12 points) Donnerlesreponsesacetexercicedanslescadresprevusci-dessous Partie A Ons’interessealaproductiond’unarbrefruitierdonne. Onsaitquelorsdel’annee 2000 ,l’arbreadonneunebonnerecolte. Pour tout entier n ∈ N , on note : -B n l’nt“l’arbredonneunebonnerecoltedurantl’annee 2000 + n ”, eveneme -M n l’ement“l’arbredonneunemauvaiserecoltedurantl’annee 2000 + n ”. even Silorsdel’annee 2000 + n l’arbredonneunebonnerecolte,l’anneesuivante,ildonneune 1 2 bonnerecolteaveclaprobabilite 3 etilendonneunemauvaiseaveclaprobabilite 3 . Siparcontrelorsdel’annee 2000 + n l’arbredonneunemauvaiserecolte,l’annee 2 suivante,ildonneunebonnerecolteaveclaprobabilite 3 et il en donne une mauvaise avec 1 laprobabilite 3 . I-A-1-On note P B ( A ) laprobabilitedel’evenement A sachantquel’evenement B estrelis a e. Donner, pour tout entier n ∈ N ,lesprobabilitesconditionnellessuivantes: P B n ( B n +1 ) , P M n ( B n +1 ) , P B n ( M n +1 ) , P M n ( M n +1 ) . I-A-2-Pour tout entier n ∈ N , on note p n laprobabilitedel’evenement B n et q n la probabilitedel’evenement M n ,c’estadire: p n = P ( B n ) et q n = P ( M n ) . I-A-2-a-Donner p 0 et q 0 . I-A-2-b-Donner pour tout entier n ∈ N , la valeur de p n + q n . I-A-3-a-Pour tout entier n ∈ N ,determinerlesprobabilites P ( B n +1 ∩ B n ) et P ( B n +1 ∩ M n ) en fonction de p n et de q n . REPONSES A L’EXERCICE I I-A-1-P B ( B n +1 )= 1 3 P M n ( B n +1 )= 3 2 n P B n ( M n +1 )= 2 3 P M n ( M n +1 )= 1 3 I-A-2-a-p 0 = 1 q 0 = 0

I-A-2-b p n + q n = 1

I-A-3-a-P ( B n +1 ∩ B n ) = P B n ( B n +1 ) × P ( B ) 1 n = 3 p n P ( B n +1 ∩ M n ) = P M n ( B n +1 ) × P ( M n )= 2 3 q n

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