HEC 1999 mathematiques i classe prepa hec (s)

Description

n2n12uNCnfuknf()+=0t:f1uCnxn8(tf8nNut0f()=7!1tN1u(0)nN()Nlimxnx!(+t1(unn)tRtntt=R+[(tn1]()tnn[et()C

Informations

• Publié par: aiolos
• Nombre de lectures: 250
• Langue: Français

Extrait

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES. MATHEMATIQUES 1.

OPTION SCIENTIFIQUE

Mercredi 12 Mai 1999, de 8h. `a 12h.

L’´enonc´e comporte 5 pages.

Ce probl`eme ´etudie diff´erents mod`eles de propagation, au cours du temps, d’une information

au sein d’une population contenant

individus o`u

est un entier naturel strictement sup´erieur `a

.

On d´esignera par le r´eel

positif la variable repr´esentant le temps. On suppose qu’`a l’instant initial,

, une seule personne parmi cette population est inform´ee. L’information circule au sein de

cette population et lorsqu’une personne est inform´ee `a l’instant t elle le reste ind´efiniment. Dans tout

le probl`eme

d´esignera un entier naturel sans qu’il soit besoin de le rappeler `a chaque fois. Pour tout

r´eel

,

d´esignera la partie enti`ere de

,

c

’

e

s

t

`a dire l’unique entier relatif

tel que

,

et la fonction

repr´esentera la fonction logarithme n´ep´erien. La partie II est ind´ependante de la

partie I

Partie I : Propagation d

´

eterministe

A

:

P

r

e

m

i

e

r

m

o

d

`

ele de propagation

Soit

un r´eel strictement positif. On consid`ere un intervalle de temps

strictement positif et tel que

ainsi que les instants

,

o

`u l’entier

d´ecrit

. Pour tout

, on note

la proportion de

personnes inform´ees `a l’instant

.

On fait l’hypoth`ese que l’augmentation de cette proportion entre les instants

et

est

d´etermin´ee par la relation:

On pose:

.

1. D´eterminer l’expression de

et la valeur de

.

2. Soit

un r´eel fix´e strictement positif. Le rapport

sera ´egalement not´e

.

a) Comparer

et

.

D

´eterminer

b) D´eterminer

.

3. On suppose dans cette question que la proportion de personnes inform´ees est d´efinie `a chaque

instant

,

o

`u

est un r´eel positif, par

,

´etant une fonction d´efinie et d´erivable sur

.

On fait l’hypoth`ese que l’accroissement instantan´e de la proportion de personnes inform´ees est

d´etermin´e par la relation:

En consid´erant la fonction

,

d

´eterminer la fonction

sachant que

.

1