HEC 1999 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION ECONOMIQUEMATHEMATIQUES IIAnnØe 1999La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.La prØsentation, la lisibilitØ, l orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision des raisonnementsentreront pour une part importante dans l apprØciation des copies. Les candidats sont invitØs à encadrer dans lamesure du possible les rØsultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d aucun document; l utilisation de toutecalculatrice et de tout matØriel Ølectronique est interdite. Seule ul tilisation d une rØgle graduØe est autorisØe.On dØsire rester si un algorithme gØnØrateur de nombres alØatoires est satisfaisant.On Øtudie quelques aspects probabilistes permettant de rØpondre à cette question.Les parties 1 et 2 sont indØpendantes. La partie 3 utilise les notations et les rØsultats des parties ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE MATHEMATIQUESII Année 1999

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune régle graduée est autorisée. On désire rester si un algorithme générateur de nombres aléatoires est satisfaisant. On étudie quelques aspects probabilistes permettant de répondre à cette question. Les parties 1 et 2 sont indépendantes.La partie 3 utilise les notations et les résultats des parties précédentes.

Notation SiXetYsont deux variables aléatoires discrétes, on notecov(X; Y)leur covariance, si celle-ci existe.

Partie 1 Soitnetsdes entiers supérieurs ou égaux à2considére une urne contenant des boules de couleurs. OnC 1 ; : : : ; C s . s P Les boules de couleurC i sont en proportionp i . Ona doncp i = 1et on suppose que, pour touti,p i >0. i=1 On e¤ectuentirages successifs dune boule avec remise. Pour toutidef1; : : : ; sg, on noteX i la variable aléatoire égale au nombre de boules de couleurC i obtenues à lissue desntirages. Onremarque que la variableX i dépend den. Ondénit la variable aléatoireU n par : 2 s P (X i np i ) U n =. np i=1 i 1/4