HEC 2001 mathematiques ii classe prepa hec (eco)

Description

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• Langue: Français

Extrait

HEC 2001 Option Economique Math 2

Dans tout le probl`eme,

d´esigne un entier sup´erieur ou ´egal `a

.

On dispose de

jetons num´erot´es de

`a

. On tire, au hasard et sans remise, les jetons un `a un. La suite

des

num´eros tir´es est aussi appel´ee permutation de l’ensemble

.

´

Etant donn´e deux entiers

et

v´erifiant

, la suite

—

s

e

r

´eduisant `a

dans le cas o`u

est ´egal `a

— est appel´ee sous-suite de

et son nombre d’´el´ements est appel´e longueur de cette sous-suite.

On admettra que cette exp´erience al´eatoire peut ˆetre mod´elis´ee par la donn´ee de l’univers

, ensemble des permutations de

, muni de la tribu de ses parties

et de la probabilit´e uniforme

P

, ce qui signifie que, pour toute permutation

de

,

o

n

a

:

P

Si

est une variable al´eatoire d´efinie sur

P

, on note E

son esp´erance et V

sa variance.

Si

et

sont deux variables al´eatoires d´efinies sur

P

, on note Cov

leur covariance.

Pr

´

eliminaire

Soit

une variable al´eatoire prenant ses valeurs dans

o`u

est un entier sup´erieur ou ´egal `a

.

Montrer l’´egalit´

e

:

E

P

.

Partie 1 : Premi

`

ere sous-suite croissante

´

Etant donn´e une permutation

de

,

l

a

p

r

e

m

i

`ere sous-suite croissante est d´

e

fi

n

i

e

d

e

l

a

f

a

c

¸on suivante

: dans le cas

,

l

a

p

r

e

m

i

`ere sous-suite croissante est

; dans le cas contraire,

´etant le plus

petit entier de

v´erifiant

,

l

a

p

r

e

m

i

`ere sous-suite croissante est

.

Soit

la variable al´eatoire d´efinie sur

P

qui, `a toute permutation

, associe la longueur de sa premi`ere sous-suite

croissante.

Par exemple, si

et

, comme

et

,

o

n

a

:

.

1)

a) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par

? Que vaut

P

?

b) Montrer que, pour tout entier

de

,

o

n

a

:

P

En d´eduire la loi de

.

2) Donner la valeur de E

sous forme d’une somme et d´eterminer la limite de E

quand

tend vers l’infini.

Partie 2 : Deuxi

`

eme sous-suite croissante

´

Etant donn´e une permutation

de

et sa premi`ere sous-suite croissante

;

s

i

c

e

l

l

e

-

c

i

s

e

termine par

(i.e. si

), on dit que la deuxi`eme sous-suite croissante n’existe pas; dans le cas contraire, la premi`ere

sous-suite croissante de

est appel´ee deuxi`eme sous-suite croissante de

.

Soit

la variable al´eatoire d´efinie sur

P

qui, `a toute permutation

, associe

s’il n’existe pas de deuxi`eme sous-suite

croissante, et la longueur de la deuxi`eme sous-suite croissante, dans le cas contraire.

Par exemple, si

et

, la deuxi`eme sous-suite croissante est

et l’on a :

.

1) Quelles sont la plus petite et la plus grande des valeurs prises par

? Que vaut

P

?

2) On suppose, dans cette question seulement, que

est ´egal `a

.

a) Montrer que la loi du couple

est donn´ee par le tableau suivant :

b) Donner la loi de

et calculer son esp´erance.

c) Calculer la covariance de

et de

. Pouvait-on pr´evoir le signe de cette covariance?

3) On suppose `a nouveau que

est un entier quelconque sup´erieur ou ´egal `a

.

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