HEC 2001 mathematiques iii classe prepa hec (eco)

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Concours HEC 2001 option conomiqueMathmatiques IIIExercice 1On note m un paramtre rel et on considre les matrices H dfinies parm −1−m m 2 H = −m 1 mm−2 m 3−m3 3On note h l’endomorphisme de R ayant pour matrice H dans la base canonique de R .m m1. On suppose dans cette question que m = 2.(a) Dterminer les valeurs propres de la matrice H et les sous-espaces propres associs.2(b) La matrice H est-elle diagonalisable? Si oui, donner une base de vecteurs propres.2´2. Etudier de mˆeme les valeurs propres et les sous-espaces propres de H . Cette matrice est-elle diagonali-0sable?3. (a) Montrer qu’il existe un rel a, qu’on dterminera, qui est valeur propre dela matrice H pour toutesmles valeurs du paramtre m.(b) Dterminer, pour chaque valeur de m, le sous-espace propre associ la valeur propre a. Montrer qu’onpeut trouver un vecteur non nul v appartenant tous ces sous-espaces.134. Soit F le sous-espace de R engendr par les vecteurs v = (1,0,1) et v = (1,1,0).2 3Dterminer les vecteurs h (v ) et h (v ) et montrer que ces vecteurs appartiennent F pour tout m rel.m 2 m 335. En se placant dans la base deR forme des vecteursv ,v etv , dterminer les valeurs dem pour lesquelles1 2 3la matrice H est diagonalisable.mExercice 2.On ralise une suite de lancers indpendants d’une pice de monnaie quilibre. On associe cette exprience une suite(X ) de variables alatoires indpendantes, dfinies sur un espace probabilis (Ω,A,P) et suivant toutes la loin n≥11de Bernoulli de ...

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• Publié par: aiolos
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• Langue: Français

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