Lesujetci-dessousvisea`fairecomprendrecommentdeuxconcurrentsauxinte´rˆetsantagonistes, neparvenantpas`afixerconjointementlesstrate´giesdel’unetl’autre,conviennentdelestirer ausortavecdesprobabilite´sbiende´termin´ees. Notations : Danstoutleproble`menetpse´dengisepoonet:erslonnnlufis´xsentdesentiersnatu En=Mn,1(R)´dno;medtinfieˆemeEp. x 1n X On noteKnl’ensembleX=∈En, x1≥0, . . . , xn≥0, xi= 1tdemˆemeno´dfiein; . i=1 xn Kp. Les espacesEnetEp; la norme euclidienne, sont munis de leur structure euclidienne canonique d’un vecteurXdeEneet´tsone||X||; le produit scalaire de deux vecteursXetYdeEnetson´te hX, Yidonaelptˆeamnomeitatopnoelrucevsdseetruo;Ep. Enfin, sikest un entier naturel non nul et, si(zi)1≤i<≤kefunsteeied´reemalielnfiels,onnot maxzioumaxzi(respectivementminziouminzi) son plus grand (respectivement son plus 1≤i≤n i1≤i≤n i petit)´ele´ment. Plusg´en´eralement,sifsnmelbeiond´efiniesurunetsefenutcnoA`,valauesnadsrR, admettant un maximum (respectivement un minimum) surA, on notemaxf(x), (respectivementminf(x) x∈Ax∈A ce maximum, (respectivement ce minimum).
Partie I :Le plus petit des plus grands et le plus grand des plus petits SoitA= (ai,jmatrice appartenant a) uneMn,p(R) 1≤i≤n 1≤j≤p On noteu(Amin ( max) =ai,j) etv(Amax ( min) =ai,j). Pour simplifier les notations, on 1≤i≤n1≤j≤p1≤j≤p1≤i≤n pourra´ecrirecesexpressions:u(Amax) = minai,jetv(A) = maxminai,j. i jj i –1 6–2 –2 3 1)Calculeru(A) etv(A) dans les deux cas suivants :A= ;A1 0 .= 0 1 –1 –2 3–1 2)vernOula`on´ersg´eaucaientA∈ Mn,p(R). Pour toutj0∈ {1, . . . , p}et touti0∈ {1, . . . , n}, on poses= minaett= maxa. j0i,j0i0i0,j i j a)Montrer ques≤tpour toutj∈ {1, . . . , p}et touti∈ {1, . . . , n}. j0i00 0 b)ireq´eduEndeuv(A)≤u(A). 3)niefiecritenTogramme´acolan´druobP-salensdaueeqosppsurpnu’delubmae´rpnO 1)deuxconstantesentie`res:netp, 2) un type :;matrice = array[l..n,l..p] of real ´ a)Ecrire le corps de la fonction; i : integer) : real;function Maxligne (A :matrice cettefonctiondoitretournerleplusgrande´le´mentdelaligneide la matriceA`--ae’tsredci, la valeur maxA[i, j]. j ´ b)Ecrire le corps de la fonctionfunction MinMax(A :matrice) :real;cette fonction doit retourner la valeuru(A)finie,d´eointiauseliafrlctonsulptuahpno;rruoMax ligne.
Partie II :Le minimum des maxima et le maximum des minima –2 3 1)ectairDnaonsi.Oncelamd`erute´ueidexenelpmetscqutetiesononAet pour= , 1 –1 x y 2 t tout (x, y)∈[0,on pose1] ,X= etY= puish(x, y) =XAY. 1−x1−y