HEC 2006 mathematiques ii classe prepa hec (s)

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CHAMBRE DE COMMERCE ET D INDUSTRIE DE PARISDIRECTION DE L’ENSEIGNEMENTDirection des Admissions et concoursECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALESE.S.C.P.-E.A.P.ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYONCONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRESOPTION SCIENTIFQUEMATHEMATIQUES IIAnnØe 2006La prØsentation, la lisibilitØ, l’orthographe, la qualitØ de la rØdaction, la clartØ et la prØcision desraisonnements entreront pour une part importante dans l apprØciation des copies.Les candidats sont invitØs à encadrer dans la mesure du possible les rØsultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage d aucun document : l’utilisation de toute calculatrice et de tout matØrielØlectronique est interdite.Seule l’utilisation d une rŁgle graduØe est autorisØe.Le problŁme a pour objet l’Øtude de quelques propriØtØs concernant le nombre de racines rØelles d’un polyn mede degrØ n, (n > 1), à coe¢ cients rØels …xØs ou alØatoires. Dans les parties II et III, les polyn mes considØrØssont à coe¢ cients rØels et on pourra confondre polyn me et fonction polynomiale associØe. Pour toute fonction 0dØrivable sur son domaine de dØ nition, la dØrivØe de est notØe . Les quatre parties du problŁme sont, dansune large mesure, indØpendantes.Partie I : Nombre de racines rØelles d’un polynôme du second degrØ à coe¢ -cients alØatoiresOn considŁre dans cette partie, deux variables alØatoires rØelles X et X dØ…nies sur le mŒme espace probabilisØ0 1( ;A;P), indØpendantes et de mŒme loi. Pour ...

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CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE LENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION SCIENTIFQUE MATHEMATIQUESII Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Le problème a pour objet létude de quelques propriétés concernant le nombre de racines réelles dun polynôme de degrén, (n>1Dans les parties II et III, les polynômes considérés), à coe¢ cients réels xés ou aléatoires. sont à coe¢ cients réels et on pourra confondre polynôme et fonction polynomiale associée.Pour toute fonction 0 dérivable sur son domaine de dénition, la dérivée deest notéequatre parties du problème sont, dans. Les une large mesure, indépendantes.

Partie I : Nombre de racines réelles dun polynôme du second degré à coe¢- cients aléatoires

On considère dans cette partie, deux variables aléatoires réellesX 0 etX 1 dénies sur le même espace probabilisé (;A; P), indépendantes et de même loi.Pour tout!de, on considère le polynômeQ ! dindéterminéey, déni par : 2 Q ! (y) =y+X 1 (!)y+X 0 (!) On désigne parM(w)le nombre de racines réelles deQ ! .

1. Montrerque lapplicationMqui, à tout!deassocieM(!), est une variable aléatoire dénie sur(;A; P).

2. SoitZune variable aléatoire dénie sur(;A; P), qui suit une loi de Bernoulli de paramètrep(p2]0;1[). On suppose dans cette question queX 0 etX 1 suivent la même loi que2Z1.

(a) Déterminerla loi deX 0 .

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