HEC 2007 mathematiques 2 classe prepa hec (s)

Description

HEC 2007, math 2, option scientifiquePour toute variable al´eatoire r´eelle Y d´efinie sur un espace probabilis´e (Ω,A,P) et poss´edantune esp´erance math´ematique, on note E(Y) cette esp´erance pour la probabilit´e P. Pour tout´ev´enement C de A tel que P(C)> 0, on note, sous r´eserve d’existence, E(Y/C) l’esp´erance de Ypour la probabilit´e conditionnelle P (esp´erance conditionnelle de Y sachant C).CPartie ICette partie constitue une application particuli`ere des r´esultats g´en´eraux ´etudi´es dans la suite duprobl`eme.On poss`eden urnes (n> 3) num´erot´ees de 1 a`n, dans lesquelles on r´epartit au hasard et de fa¸conind´ependante,m boules indiscernables (m> 4), de sorte que, pour touti de [1,n]], la probabilit´epour chaque boule d’ˆetre plac´ee dans l’urne num´ero i soit ´egale `a 1/n.`On suppose que cette exp´erience est mod´elis´ee par un espace probabilis´e (Ω,A,P). A l’issue decette exp´erience, on pose pour tout i de [[1,n]] :n o1 si l’urne n i est videX =i0 sinonnXOn pose W = X .n ii=11)a)D´eterminer pour tout i de [[1,n]], la loi de la variable al´eatoire X .ib)Pour tout couple (i,j) d’entiers de [[1,n]] distincts, calculerP([X = 1]∩[X = 1]), ainsi quei jla covariance de X et X . Les variables al´eatoires X et X sont-elles ind´ependantes?i j i j2)a)Exprimer l’esp´erance E(W ) de W en fonction de n et m.n nb)On note V(W ) la variance de W . Calculer V(W ) en fonction de n et m.n n n 2m m1 22c) V´erifier l’´egalit´e : E(W )−V(W ) =n ...

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HEC 2007, math 2, option scientifique Pourtoutevariableal´eatoirere´elleY´efindruneiesupeorpscail´sabibΩe(,A, P)tnad´esspoet uneespe´rancemath´ematique,onnoteE(Y)cetteesruoprpalre´pecna´eabobitilP. Pour tout e´ve´nementCdeAtel queP(C)>0,ese´rsuos,etonno,ceenstxi’eedrvE(Y /Cede’e)l´espncraY pourlaprobabilit´econditionnelleP C etidionecedllneone(pse´arcnYsachantC). Partie I Cettepartieconstitueuneapplicationparticulie`redesr´esultatsge´n´eraux´etudie´sdanslasuitedu proble`me. Onposse`denurnes (n>nu3)`1aseedtoe´´mrenlpeasrotqnure´lehsalseasi,tdaaunedafdrtec¸no inde´pendante,mboules indiscernables (m>4), de sorte que, pour toutide[1, n,l]]roapbibat´lie pourchaquebouled’eˆtreplace´edansl’urnenume´roi1a`elage´tios/n. ` Onsupposequecetteexpe´rienceestmod´elise´eparunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). A l’issue de cetteexp´erience,onposepourtoutide[1, n]] : n o 1 sil’urne niest vide X i = 0 sinon n X On poseW n =X i . i=1 1)a)uotD´eterminerpourtide[1, n],]aleirtoeal´aelbairavalediolX i . b)Pour tout couple (i, j) d’entiers de[1, n]] distincts, calculerP([X i = 1]∩[X j = 1]), ainsi que la covariance deX i etX j riablesa.Lesvase´laeotriX i etX j inesepd´ntsoll-e?adnesetn 2)a)rancsp´erl’erimepxEeE(W n ) deW n en fonction denetm. b)On noteV(W n ) la variance deW n . CalculerV(W n ) en fonction denetm.    2m m 1 2 2 c)Vire´lrefieg’´ital:´eE(W n )−V(W n ) =n1− −n(n−1) 1−. n n Ende´duirequeE(W n )−V(W n )>0. 3)Dans cette question, l’entiermre´vefiim=bnlnn+θnc,o`uθtsnaet´rtsnucenoeellee positive etbxctrapalengise´dredeti`eieenx. a)Calculer limE(W n ). n→+∞   b)limMontrer queE(W n )−V(W n ) =0. n→+∞ c)SoitT n isPodeoiarepndsoiuqeriotlenutiusunevariableal´eartemae`µ n =E(W n ). On admet que pour toutkdeN, on a :     1 |P([W n =k])−P([T n =k])|6min 1,×µ n −V(W n ) µ n Quelleestlalimiteenloidelasuitedevariablesal´eatoires(W n ) n>3 ? −θ 4)On poseµsnpue,otuqleopesam`eepaer=treµest inconnu. Dans cette question, on veut estimerµ. ∗ Pourpentier deNere`nu,onconsidp-hce´itnaonlld´inenepntdae´ubirtsdintmeueiqntde,i (T 1 , T 2 , . . . , T p `mteaparnoediossidePlalo)dereµ. On pose : p X 1 √ T p −µ T p =T i etU p =p √ p µ i=1 a)Montrer queT p tsmitaueseutenerduntgeeretm`rapaaibsnasrvnoctesiµ. b)iteealimdelanloiuQseltleel´ealoiats(retiusvedeairaselbU p ) p>1 ? c)On veut construire, pourpeledocfinnaecausdsaepzgrand,unintervalm`rareetµau risque αode´nnioS.tuittfopiseleuqlstrr´eementicteelP([U>u]) =α/`u2oUest une variable ale´atoirequisuitlaloinormalecentr´eere´duite. Justifier que pourpssagreze:rcritue´noepna,dP([|U p |6u]) = 1−αrsloarenimrete´dte, un intervalle de confiance [I p , J p ] pourµau risqueα.