ICNA - Epreuve optionnelle 2004 Classe Prepa PC ENAC

Fabrice Colin

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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de ICNA - Epreuve optionnelle 2004. Retrouvez le corrigé ICNA - Epreuve optionnelle 2004 sur Bankexam.fr.

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• 2004
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• Publié le: 13 juillet 2008
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Extrait

Questions liées.

ÉNONCÉ

[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12,13] [14,15,16,17,18,19,20] [29,30,31,32,33,34] [35,36,37,38,39,40]

1.Une poulie homogèneCde centre de masse C, de masse M et de rayon a, est suspendue par son axe de rotation Cz à l'extrémité d'un ressort de raideur k et de longueur à videA 0  dont l'autre extrémité est maintenue fixe dans le référentiel d'étudeR(Oxyz). Un solideSde centre de masse G et de masse m, est suspendu à, l'extrémité d'un fil f inextensible et sans masse qui passe dans la gorge de la poulie où il ne peut pas glisser et dont l'autre extrémité est maintenue fixe dansR(Oxyyz). Le mouvement de rotation de la poulie est repéré par l'angleθdéfini sur la figure ci-contre. Déterminer la position x C0 du centre C de la poulie à l'équilibre. a) x C0 ( M+2m ) g 0 M x + k m ) g +A= + Ab) C0 0 k c) x C0 = k gM +A 0 d)  M+m ) g x= +A C0 2k 0

 [21,22,23,24,25,26,27,28]

Oz

e x

x

y

I T

S

G

θ

C

C

J T'

g

2. la relation entre la vitesse ExprimerV(G/R) du centre de masse G du solideSet la vitesseV(C/R) du centre de masse C de la poulie. a)V ( G /R) =V ( C /R ) b)VG /R) =VC /R) −aθ  i c)V ( G /R) =2V ( C /R) +a  θid)VG /R) =2VC /R ) 

3. désigne par On x=x C −x C0 la quantité qui repère la position du point C par rapport à sa position d'équilibre x C0 . On rappelle que le moment d'inertie de la poulie par rapport à l'axe Cz s'écrit : J= 2 aM 2 . Écrire l'équation différentielle à laquelle x obéit. 2 ) d d 2 t 2 x = − m+ x k M ) d dt 2 x = − 2 8m+  k x 3M c) dt  d 2 2 x = − 2 m+ x k M d) td  d 2 2 m xk 2+M x a b= −

4. Exprimer la pulsationω 0 des oscillations du solideS. k ω a)ω 0 = m+  M k b)ω 0 = 2 m+  M k c)ω 0 = 2 8m+ k  M3 d) 0 = 2m+M

5. solide LeS  estécarté de sa position d'équilibre d'une quantitéε 0  lâché sans vitesse initiale. puis On désigne parT=Ti la tension qu'exerce à chaque instant t la partie mobile du fil sur la poulie. Exprimer T. a) T=3mω 02 ε 0 cos(ω 0 t ) b) T=mg+mω 2 0 ε 0 cos(ω 0 t )  c) T=mg−mω 02 ε 0 sin(ω 0 t ) d) T mg+m+2M ) ω 2 0 ε 0 cosω 0 t ) 

6. désigne par OnT'=T 'i la tension qu'exerce à chaque instant t la partie immobile du fil sur la  poulie. Exprimer T ' .

AC

128

  a) T '=mg+   m+ M ω   2 0 ε 0 cos(ω 0 t )  4 c) T '=mg  +   m+ 2M 3 ω    2 0 ε 0 cos(ω 0 t ) 

b

d

ICNA - SESSION 2004

) T '=mg+    m+ M 2 ω    2 εcos(ωt )  0 0 0

) T '=mg+m+2Mω ) 02 ε 0 cos(ω 0 t ) 

7.d'une tuyère servent à la propulsion d'une fusée dont la masse initiale gaz sortant  Lestotale (structure, équipement et mélange propulsif) est m 0 = 10 4 kg. La vitesse d'éjectionudes gaz par rapport à la fusée est supposée constante et vaut, en norme, u = 3920 m.s −1 . Le débit massique des gaz est noté D et il sera supposé constant dans le temps. On désigne respectivement par m etVles valeurs à l'instant t de la masse de la fusée et de sa vitesse par rapport à un repère terrestreR (Oxyz) que l'on supposera galiléen et dont l'axe Oz est dirigé suivant la verticale ascendante. On noteragl'accélération de la pesanteur et l'on supposera que sa norme g = 9,8 m.s −2 est indépendante de l'altitude z de la fusée. Montrer que si l'on néglige la résistance de l'air, l'accélération a de la fusée dans le repèreR à (Oxyz) l'instant t peut s'écrire :a ( t) =g τ − u −t . Exprimerτ. a)τ = D m2 0 b)τ = D2 m 0 

c m 0 τ = ) D

d)  4m 0 τ = 5D

8. masse m La c  du mélange propulsif représente une proportion a de la masse initiale totale m 0  : m c = αm 0 . Calculer le temps t 1 au bout duquel le carburant est totalement consommé. a) t 1 =2ατt == α  α d) t 1 = α b) 1 τc) t 1 2τ3τ

9. Quelle est la vitesse V 1 atteinte par la fusée à l'instant t 1 où le carburant est consommé en totalité ? a)  V 1 =u ln ( 1− α ) +gατ b) V 1 = −u lnα −gατ c) V 1 = −u lnα +g ( 1− α ) τd) V 1 = − 1u ln− α) −gατ

y 10. Quelle est alors l'altitude z 1 de la fusée ? On donne : ∫ ln ( 1−x ) dx  ( = −1−y ) ln ( 1−y) −y . 0 a) z 1 =u ( +τα   1− α )ln ( 1α− ) −   1 g 2 α 2 τ 2 b) z 1 =uα−τ  (  1−α ) ln ( 1−α )   − 1 g 2 α 2 τ 2  2 2 c) z 1 =uτα− (   1− α )ln ( 1  ) −+α  gα τd) z 1 =u (  +τα  1 ) −αln ( 1  ) −α−  2gα 2 τ 2 

11. Donner la valeur numérique deτqu'à l'instant t = 0 l'accélération a(0) = g.sachant a)τ= 100 sb)τ= 300 sc)τ= 250 sd)τ= 200 s 12. Calculer numériquement en kilomètres la valeur entière arrondie de l'altitude z 1 siα= 1/2. a)z 1 = 71 kmb)z 1 = 102 kmc)z 1 = 47 kmd)z 1 = 203 km 13.valeur entière arrondie de l'altitude maximale z numériquement en kilomètres la  Calculer 2 atteinte par la fusée avant qu'elle retombe. a)z 2 = 304 kmb)z 2 = 108 kmc)z 2 = 225 kmd)z 2 = 402 km

14. Une sphère métallique S 0 , de rayon R 0 , est portée à un potentiel V 0 puisisolée. Calculer la charge électrique surfaciqueσ 0 qu'elle a emmagasinée. ε 0 V 0 σ 0 =a)σ 0 = 4π R ε 0 0 V 0 b)σ 0 = 2πε R 0 0 V 0 c)σ 0 = R 4 0 πε V 0 0 d) R 0

15.

AC

Calculer l'énergie électrostatiqueEde la sphère.

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

a)E=2πε 0 R 0 V 02 

b)E=4πε 0 R 0 V 02 

c)E= ε 0 R 0 V 02 

d) E= 4πε 0 R 0  2 V 0

R i

16. sphère S La 0  maintenant entourée d'une sphère conductrice est creuse S 1 isolée et initialement neutre, concentrique, de rayons intérieur R i = 15 cm et extérieur R e = 16 cm. Calculer le potentiel V 1 de la sphère S 1 . = a)= R R e b)  R 0  V 1 V 0 V 1 V 0  i R i c) V 1 = R 0 V 0 d)V= R R i V R 1 0 e 0 17. le potentiel V(P) d'un point quelconque P situé entre Exprimer les deux sphères à une distance R 0 <r<R i . On notera Q 0  la charge totale portée par la sphère S 0 . a) V ( P) = Q π 0 ε 0    1 + 1 e − 1 R i    b) V ( P) = 4 Q 0 0 4 r Rπεr c) V ( P ) Q 0  11 1 = 4πε 0    r + R e − R 0    d) V ( P) = Q 4πε 0 0    1 r + 1 R 0 − R 1 i    

R e

R 0 O

S 0

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S 1

18.impose maintenant que le potentiel V' On  1 de S 1 soit nul. Quel est le nouveau potentiel V' 0 de S 0 ? R i a) V ' 0 =V 0    1− R R e 0    b) V ' 0 =V 0    1− R R i 0    c) V ' 0 =V 0    1− R R 0 e    d) V ' 0 =V 0    1− R     0

19. sphère S La 0  maintenant portée au potentiel V" est 0  et " V la sphère extérieure au potentiel 1 Calculer la charge Q' 0 portée par la sphère S 0 . a) Q ' 0 =4πε 0 R 0 e R R e 0 V " 0 b) Q ' 0 =4πε 0 R R e e − R i R i V " 0  R− c) Q ' 0 =4πε 0 R R 0 − R R i V " 0 d) Q ' 0 =0 i 0

20. l'énergie électrostatique CalculerE'du système formé par l'ensemble des deux sphères. aE'=2πε 0 R R e V " 0 )E'=2πε 0 R i R 0 −R R i 0 V " 2 0 b)  R 0 −R 2 e 0 c)E'=2πε 0 R R e R R i V " 2 0 d)E'=0 − i e

0 .

21.  Unelunette de Galilée est constituée d'un objectif mince convergent L 1 de distance focale image f ' 1 = d'un oculaire mince divergent L15cm et 2  ' fde distance focale image 2 = −5cm . Calculer numériquement le distance e = O 1 O 2 entre les centres optiques respectifs O 1 et O 2 des lentilles L 1  et L 2 est normal puisse voir en accommodant à l'infini l'image que qu'un observateur dont l'il  pour donne la lunette d'un objet situé à l'infini. a)e = 20 cmb)e = 10 cmc)e = 15 cmd)e = 12 cm 22. rayon  Unlumineux entre dans l'instrument en faisant un angleα 1  avec l'axe optique. Exprimer l'angleα 2 fait le rayon émergent avec l'axe optique.que a)α 2 = − f' f' 1 α 1 b)α 2 = − 'f f' 1 2 α 1 c)α 2 = − f ' 1 f + ' 2 f ' 2 α 1 d)α 2 = − f ' 1 f + ' 1 f ' 2 α 1  2

AC

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ICNA - SESSION 2004

23. définit le grossissement G d'un instrument d'optique par le rapport On G = α i de l'angleα i sous α o lequel un observateur voit un objet à travers l'instrument sur l'angleα o sous lequel il voit le même objet à l'il nu. Calculer le grossissement G de la lunette. a)G = 3b)G =−2c)G =−1,5d)G 4 = Dans les questions qui suivent, il est avantageux d'exploiter les relations de conjugaison des lentilles minces qui utilisent les foyers objet et image pour repérer les positions respectives de l'objet et de l'image (relations de Newton).

24. disposé dans le plan de front orthogonal à l'axe optique situé à une  AB est  objet de dimension Un distance finie de la lunette. L'objectif en donne une image A ' B ' reprise par l'oculaire qui en donne une image définitive A "B" observable par l'il. Calculer le grandissement transversal de la lunette défini par le rapportγ =. 'A'B B"A" +f ' a)γ = − f ' 1 f ' 1 2 b)γ = − f ' 1 f + ' 2 f ' 2 c)γ = − f f ' ' 2 1 

d f ' − )γ = ' 1  f 2

25. L'observateur dont la distance minimale de vision distincte estδ m =20cm regarde à travers la lunette un objet qui rapproche de lui. Le centre optique O de son il est placé à une distance d=O 2 O=2cm de l'oculaire. Pour éviter de retoucher au tirage de la lunette, il accommode de façon à conserver une vision nette de l'objet à travers l'instrument. Jusqu'à quelle distance d m  = AO de l'observateur l'objet peut-il se rapprocher ? a)d m = 252 cmb)d m = 321 cmc)d m = 197 cmd)d m = 144 cm 26. le grossissement G Calculer 1 de la lunette lorsque l'objet se trouve à cette distance minimale d m . a)G 1 =−2,4b)G 1 =−3,5c)G 1 =−4,2d)G 1 −1,9 = 27. observateur myope dont la distance maximale de vision distincte est Unδ M =25cm observe à travers l'instrument, sans ses verres correcteurs, un objet situé à l'infini. Quelle doit être la nouvelle valeur e '=O 1 O 2 de la distance entre les centres optiques des deux lentilles pour que l'observateur ait une vision nette de l'objet ? a)e' = 11,22 cmb)e' = 12,33 cmc)e' = 7,98 cmd)e' = 8,61 cm  28. est, dans ces conditions, le grossissement G Quel 2 de la lunette sachant que l'observateur porte ses verres correcteurs lorsqu'il observe l'objet à l'infini sans instrument. a)G 2 =−3,36b)G 2 =−4,51c)G 2 =−2,16d)G 2 =−5,33

29. circuit est constitué d'un interrupteur K, d'un résistor de résistance R et de deux condensateurs Un de capacités respectives C 1  et C 2  connectés en série (voir figure ci- A R  B contre0 où l'on ferme l'interrupteur K, l'armature du). A l'instant t = condensateur de capacité C 1 connectée au point A porte la charge Q 0 . i K t() Le condensateur de capacité C 2 est complètement déchargé. Exprimer la charge finale Q 1  l'armature du condensateur de de Q capacité C 1 connectée au point A. C 1 0 C 2 1 a)= 2 Q 1 Q 0 C 1 C +C 2 b)Q 1 =Q 0 C 1 C +C 2  + c) Q 1 =Q 0 C 1 C 2 d) Q 1 =Q 0 C 1 C + 2 C 2  C 1

30. Exprimer la charge finale Q 2 de l'armature du condensateur de capacité C 2 connectée au point B. a) Q 2 =Q 0 C C+ 1 C b) Q 2 =Q 0 C 1 C + 2 C 2 c) Q 2 =Q 0 C 1 C + 1 C 2 d) Q 2 =Q 0 C 1 C + 2 C 2  1 2

31.

AC

Calculer la variation∆Ed'énergie électrostatique de l'ensemble des deux condensateurs.

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

Q 2 0 C 1 a)∆E= − 2 2 ( 1 2 )  C C+C c) Q 2 C E= − 0 2 ∆ 2C 1 ( C 1 +C 2 )

b)∆E= − Q 02 C C 1 1 C + 2 C 2 )  2 C+C ∆E= − d) Q 0 2C 1 1 C 2 2 )

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32. Montrerque la valeur instantanée i(t) de l'intensité du courant dans le circuit pendant le régime  transitoire s'écrit : i ( t) =I 0 exp( −t /τ). Exprimer I 0 . a) I 0 = Q CR 0 2 b) I 0 = Q 0 ( RC C 1 1 C + 2 C 2 ) c) I 0 = R ( C 1 Q 0 +C 2 ) d) I 0 = CR Q 1 0 

33. Exprimerτ. a)τ =R ( C 1 +C 2 ) 

b)τ =RC 1 

c)τ = R C 1 C 2  C 1 +C 2

d)τ =RC 2 

34. l'énergie CalculerE J effet Joule dans le résistor de résistance R.dissipée sous forme de chaleur par a)E= Q C 02 C 1 +C ) b)E J = 2C 1 ( Q C 2 0 1 C + 2 C 2 ) c)E J = 2 ( C 1 Q + 02 C 2 ) d)E J = 2 ( Q C 1 2 0 C + 1 C C 2 2 )  J 2C 2 ( 1 2

35. On considère le circuit représenté par le schéma de la figure ci- contre. Les bobines B 1  et B 2  même coefficient d'auto-inductance L. ont e L t a  b C o 2 o inb ntl B a e 0 édnngisétiO.Cpaemecapacmê L-indautonceuctaiffeocn'dtneicua 0 eL. qr 1 t  e s q ocdn 2 rl ne a et u ra e su s s ev C l 1 s B 1 B 0 r l i e e n s s s  t p c a e h n c a t t r a iv g n e e é s e m  s i e  n d n i t t e  i s a a  l c u e h x s   a r b r e g o s e b p s i e  n c d e t e s i s  v  B e a s 1 e mr t q 1 ruta B )0( 2 e Q e  L = . des s 0 n qte n  cos oc 2 0=0)( tesaend s u a rs t  e C denCurs 1 1 t  C etC e 2 2 rel p é  is ro e ettn C 1 q 1 C 2  . Écrire les équations différentielles couplées auxquelles obéissent les charges q 1 et q 2 . d 2 q 1 t d 2 q 2 t q 1 t d 2 q 2 t d 2 1  2 ( ) a) ( L+L 0 ) dt 2  + ( ) L 0 dt 2  + ( ) C ( )  =0 et ( L+L 0 ) dt 2 + ) L 0 q td 2 t + ) C qt =0 L d 2 q ( t ) L d 2 q t ) q ( t )  d 0 et L 2 q t ) d L 2 q t ) q t ) 0 b)  dt 1 2 + 2 0 2 + 1 C = 2 0 2 + 1 2 + 2 C = dt dt dt c) ( L+2L 0 ) d 2 q dt 2 1 ( t + ) 2L 0 d 2 dt q 2 2 ( t ) + q 2 C ( t = ) 0 et ( 2L+L 0 ) d 2 dt q 2 2 ( t ) +2L 0 d 2 q dt 1 2 ( t ) + q 1 C ( t ) =0 d) L 0 d 2 q 2 1 ( t ) +L2 d 2 q 1 ( t ) + q 2 ( t ) =0 et L  d 2 q 2 t ) +L 0 d 2 q 1 t + ) q 2 t ) =0 dt dt 2 dt C 2 dt 2 C

36. Calculer les fréquences propresΩ 1 etΩ 2 du circuit. a)Ω 1 = ( L+ 1 L 0 ) te C Ω 2 = 1  L2C b)Ω 1 = c)Ω 1 ( = L+2 1 L 0 ) te C Ω 2 = CL  1 d)Ω 1 =

37. Exprimer q 1 (t). a) q 1 ( t) =Q 0   cos(Ω 1 t) +sin(Ω 2 t )    b) q 1 ( t) =Q 0   cos(Ω 1 + Ω 2 ) t+sin(Ω 1 + Ω 2 ) t    0 c) q 1 ( t) = 2 Q   cos(Ω 1 − Ω 2 ) t+cos(Ω 1 + Ω 2 ) t   

1 Ω =  et 2 ( 2L+2L 0 ) C 1 1 LC etΩ 2 = L C 0

1  L 0 C



B 2

q 2

AC