Intégration sur un intervalle quelconque

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Intégration sur un intervalle quelconque

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Intégration sur un intervalle quelconque Intégrabilité Exercice 1 [ 00657 ] [correction] Etudier l’existence des intégrales suivantes : 1 a) Z 0 (1− d t t ) √ t b) Z 0 +∞ t 2 + lnt 1 dt c) Z + 0 ∞ ln(t)e −t dt Z + 0 ∞ ln( t 1 3 + 2 t d ) t d) e +∞ ln(1 +t 2 ) ) Z −∞ 1 +t 2 dt 1 f) Z 0 +∞ si  t 2  dt n Exercice 2 [ 00658 ] [correction] Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur les paramètres réelsaetb pour que les intégrales suivantes existent : a) Z 1 +∞ dt t a (t−1) b b) Z 0 +∞ 1 t + a t b dt −t c) Z + 0 ∞ 1 t a + e t b dt

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Enoncés Exercice 3 [ 00659 ] [correction] [Intégrales de Bertrand] Pourα β∈Ron étudie la nature de l’intégrale Z + e ∞ d l(n t t) β t α a) On supposeα >1. Montrer que l’intégrale étudiée converge. b) On supposeα= 1. Calculer Z x tnl( d t t ) β e et déterminer pour quelsβ∈Rl’intégrale étudiée converge. c) On supposeα <1, en exploitant t −−−−→+∞ t α (lnt) β t→+∞ établir que l’intégrale étudiée diverge. Exercice 4 [ 00660 ] [correction] Condition nécessaire et suffisante surα∈Rpour que R + 0 ∞ t− t s α int dtexiste. Exercice 5 [ 00661 ] [correction] Montrer que les fonctionst7→sintett7→ si t nt ne sont pas intégrables sur[0+∞[. Exercice 6 [ 00663 ] [correction] Soitf:R + →Rune fonction continue, décroissante et intégrable surR + . a) Montrer queftend vers zéro en+∞. b) Si on supprime l’hypothèse décroissante, déterminer un exemple de fonctionf continue et intégrable surR + telle quefne tend pas vers zéro en+∞. Exercice 7 [ 03231 ] [correction] Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux. On suppose quefest intégrable. Montrer x+1 Z x x − → −− + − ∞ →0 f(t) dt

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Exercice 8 [ 03232 ] [correction] Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux et décroissante. On suppose quefest intégrable. Montrer xf(x) x − → −− + − ∞ →0 Exercice 9 [ 03238 ] [correction] Soitf: [0+∞[→Rcontinue par morceaux et intégrable. Montrer qu’il existe une suite(x n )de réels positifs vérifiant x n →+∞etx n f(x n )→0

Exercice 10 [ 00662 ] [correction] Soitf: [0+∞[→Rde classeC 1 . On suppose quefetf 0 sont intégrables sur [0+∞[. Montrer queftend vers 0 en+∞. Exercice 11 [ 00664 ] [correction] Soita∈]01[. Déterminer la nature de la série P a √ n . n>0 Exercice 12 [ 00665 ] [correction] Soitu:R→Rune fonction de classeC 1 telle que Z − + ∞ ∞ (1 +x 2 )u(x) 2 +u 0 (x) 2  dx <+∞ a) Déterminer les limites dex7→xu(x) 2 en±∞. b) Etablir Z − +∞ ∞ u 0 (x) 2 dx Z − + ∞ ∞ x 2 u(x) 2 dx> 4 1 Z − + ∞ ∞ u(x) 2 dx  2 Exercice 13 [ 02349 ] [correction] Etudier l’existence des intégrales suivantes : a) Z + 0 ∞ t 1 e + − t √ 2 t dtb) Z 1 0 p ln (1−t t ) 3 dtc) Z + 0 ∞ e t dt −1 +∞ d)t+ 2− p t 2 + 4t+ 1dt Z 0 ∞ e −(lnt) 2 dte) Z 0 +∞ e −tarctant dtf) Z + 0

Enoncés

Exercice 14Mines-Ponts MP [ 02829 ] [correction] Donner un exemple def∈ C 0 (R + R + )intégrable et non bornée.

Exercice 15X MP [ 03053 ] [correction] Soitf∈ C 2 (RR)telle quefetf 00 sont de carrés intégrables. a) Montrer quef 0 est de carré intégrable. b) Montrer : Z R f 02  2 6 Z R f 2  Z R f 002 

Exercice 16Mines-Ponts PC [ 00183 ] [correction] Etudier l’intégrabilité en 0 de x → Z 1 e t t dt f:x7

Exercice 17Centrale PC [ 00572 ] [correction] Soitf∈ C 2 ([0+∞[R). On suppose quefetf 00 sont intégrables. a) Montrer quef 0 (x)→0quandx→+∞. b) Montrer queff 0 est intégrable.

Exercice 18 [ 03206 ] [correction] Soitf: [1+∞[→Rcontinue vérifiant 1 ∀x a>106f(x)6 x a 2 + a 2 La fonctionfest-elle intégrable sur[1+∞[?

Exercice 19 [ 03221 ] [correction] Etudier l’existence de Z + 0 ∞ ln(tht) dt

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[http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Calculs d’intégrales Exercice 20 [ 00666 ] [correction] Calculer les intégrales suivantes : a) Z +∞ (t d ()1+t t 0 + 2) b) Z +∞ dt 0 (e t + 1)(e −t + 1) c) Z + 0 ∞ ln  1 + t 1 2  dt d) Z + 0 ∞ e −√ t dt ) Z +∞ lnt e 0 (1 +t) 2 dt Exercice 21 [ 00667 ] [correction] Calculer les intégrales suivantes : a) R 0 +∞ e − √ √ t t dt b) R 0 π2 sinxln(sinx)dx c) R 1 0 √ ln 1 t −t dt d) R + 0 ∞ (x+ d 1 x ) 3 √ x e) R + 0 ∞ √ x+1( 1+ x x− ) 1 dx x) 13 1 f) R 0 +∞ (1 x + (1+x)23 − dx g) R 2 0 π 2+c d o x sx h) R 2π nis s 2 2 ( ( x x ) )+1 dx 0 3 co 1 xd i) R 0 √ x−x x 2 Exercice 22 [ 00668 ] [correction] Existence et valeur deI= R + 0 ∞ (1+ dtt 2)2 viau= 1t.

Enoncés Exercice 23 [ 00669 ] [correction] a) Etablir + I= Z 0 ∞ x 3 + dx 1 = Z 0 +∞ x 3 x  d + 1 x b) En déduire la valeur deI. Exercice 24 [ 00670 ] [correction] a) CalculerJ= R 0 +∞ 1 t+dtt 4 . b) EtablirI= R 0 +∞ +1 d t t 4 = R +∞ t 2 dt 0 1+t4 . c) En factorisant1 +t 4 déterminerI. Exercice 25 [ 00671 ] [correction] Calculer Z 0 1 ln(1 x − 2 x 2 ) dx Exercice 26 [ 00672 ] [correction] a) Justifier l’existence de I= Z 1 0 t ln − t 1 dt b) Etablir I Z +∞ e −x−2x = −e dx 0 x c) En séparant cette dernière intégrale en deux, observer I= l ε im Z ε 2ε e x −x dx →0 puis donner la valeur deI. Exercice 27 [ 00673 ] [correction] [Intégrales d’Euler] On pose π2 I= Z 0 π2 ln(sint)dtetJ= Z ln(cost)dt 0 Montrer queIetJsont bien définies et queI=J. CalculerI+Jet en déduire les valeurs deIetJ.

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Exercice 28 [ 00674 ] [correction] Soientp q∈Rtel quep 2 −4q <0. Calculer R − + ∞ ∞ t2 +d tp t +q .

Enoncés

Exercice 29 [ 00675 ] [correction] Soitf:R→Rune fonction continue telle quelim +∞ f(x) =` x l → im −∞ f(x) =` 0 . x→ Calculer Z +∞ f(t+ 1)−f(t) dt −∞ Exercice 30 [ 00677 ] [correction] Existence et valeur de Z +∞ arctan 2x−arctanx dx 0 x Exercice 31X MP [ 01334 ] [correction] Soient(a b)∈R 2 aveca < betf∈ C 0 (RR)admettant une limite finie`en−∞ et telle que R + 0 ∞ fexiste. Justifier l’existence, puis calculer : Z − +∞ ∞ (f(a+x)−f(b+x)) dx Exercice 32 [ 00676 ] [correction] a) Justifier l’existence de I= Z 0 +∞ si t n 3 2 t dt Pourx >0, on pose Z x +∞ si t n 2 3 t dt I(x) = b) On rappellesin 3a= 3 sina−4 sin 3 a. Etablir que I(x)= 3 4 Z x 3x si t n 2 t dt c) En déduire la valeur deI.

Exercice 33 [ 02350 ] [correction] Calculer les intégrales suivantes : +∞ d a) Z √ e t t + 1 b) Z + 1 ∞ d hs t t c) Z 0 +∞ (t 2 tnl + t 1) 2 dt 0 d) Z +∞ dt +t 2 e) Z 0 1 l √ nt t dt 1 t 2 √ 1

Exercice 34Centrale MP [ 02446 ] [correction] a) Soitf∈ C 1 ([a b]R). Limite de( R b a f(t) sin(nt) dt)et( R b a f(t) cos(nt) dt)? b) Calculer, pourn∈N ? , π2 sin(2nt) cost dt Z 0 sint (on procédera par récurrence) c) En déduire +∞ sint dt Z 0 t d) Etudier la limite puis un équivalent de
Z 0 π2 ln(2 sin(t2)) cos(nt) dt !

Exercice 35Mines-Ponts MP [ 02824 ] [correction] Existence et calcul de R 0 π2 √ tanθdθ.

Exercice 36Mines-Ponts MP [ 02825 ] [correction] Existence et calcul éventuel de Z − + ∞ ∞ 1 + (t 1 +ib) 2 dt

Exercice 37Mines-Ponts MP [ 02879 ] [correction] a) Nature de l’intégrale +∞ sint dt Z 0 t

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On pose pour tout réelx ∞ f(x) = Z + si t nt dt x b) Montrer quefest de classeC 1 surRet exprimer sa dérivée. c) Calculer Z 0 +∞ f(t) dt Exercice 38X MP [ 02965 ] [correction] Calculer t p x Z 0 1 p x d 1( x −x) e Z 1 (1−x) dx 0

Exercice 39X MP [ 02968 ] [correction] SoientPetQdansR[X], oùQne s’annule pas surRetdegP6degQ−2. Exprimer R R P Ql’aide des coefficients intervenant dans la décomposition enà éléments simple deP Q. Exercice 40X MP [ 02978 ] [correction] Soitf:C(RR)intégrable. On pose g:x∈R ? 7→f(x−1x) Montrer quegest intégrable surR −? etR +? et que Z − 0 ∞ g(x) dx+ Z 0 +∞ g(x Z − +∞ ) dx=f(x) dx ∞ Exercice 41X MP [ 01333 ] [correction] Calculer Z +∞ dx −∞ 1 +x 4 +x 8 Exercice 42Centrale PC [ 00525 ] [correction] Justifier l’existence et calculer +∞ I Z 0 =t[1t] dt

Enoncés

Exercice 43 [ 03177 ] [correction] Calculer I= Z 1 1 +t 2 4 dt 0 1 +t en procédant au changement de variablet= e −x .

Exercice 44 [ 03222 ] [correction] Pour >a b0, calculer + dt I(a b) = Z ∞− ∞ (t 2 +a 2 )(t 2 +b 2 )

Exercice 45 [ 03237 ] [correction] Justifier et calculer Z − +∞ dt ∞ (1 +t 2 )(1 +it) Calcul d’intégrales dépendant d’un paramètre Exercice 46 [ 00678 ] [correction] Calculer, pourn∈N, + I n = Z 0 ∞ t n e −t dt Exercice 47 [ 00679 ] [correction] Existence et calcul pourn∈Nde dx I n Z + 0 ∞ (1 +x 2 ) n+1 =

Exercice 48 [ 00680 ] [correction] Calculer pourn∈N, I n = Z 1 0 (xlnx) n dx

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Exercice 49 [ 00681 ] [correction] Calcul deI(a) = R + 0 ∞ (t− btc)e −at dtpoura >0.

Exercice 50 [ 00682 ] [correction] dx On poseJ n = R 0 +∞ (1+x3)n+1 . a) CalculerJ 0 . b) Former une relation de récurrence engageantJ n etJ n+1 . c) Etablir qu’il existeA >0tel queJ n ∼ 3 √ A n .

Enoncés

Exercice 51 [ 00683 ] [correction] Existence et valeur poura >0de I(a) = Z + 0 ∞ sin(t)e −at dt Exercice 52 [ 00684 ] [correction] Poura >0, calculerI(a) = R 0 +∞ a l 2 n + t t2 dtvia le changement de variableu=at. Exercice 53 [ 00685 ] [correction] Pour quelles valeurs dea∈R, l’intégrale I(a) = Z 0 +∞ (1 +t 2 () dt 1 +t a ) est-elle définie ? En procédant au changement de variableu= 1t, montrer queI(a) =π4.

Exercice 54 [ 00686 ] [correction] Soitfune fonction continue et croissante surRtelle que x l → i + m ∞ f(x) =`. a) Poura >0, montrer que l’intégrale R + 0 ∞ f(x+a)−f(x) dxest définie et la calculer. b) Calculer R +∞ arctan(x+a)−arctan(x) dx. −∞

Exercice 55Mines-Ponts MP [ 02826 ] [correction] Calculer Z 0 +∞ t 2 nl + t a 2 dt

oùa >0.

Exercice 56Mines-Ponts MP [ 02827 ] [correction] Trouver une expression simple de Z 0 π (1−2xcost+x s 2 n )( i 2 1 t −2ycost+y 2 ) dt oùx y∈]−11[. Fonctions définies par intégrale Exercice 57 [ 00687 ] [correction] [FonctionΓd’Euler] Pourx >0on note Γ(x) = Z +∞ dt t x−1 e −t 0 a) Montrer que cette dernière intégrale est bien définie pour toutx >0. b) Justifier ∀x >1Γ(x) = (x−1)Γ(x−1) et calculerΓ(n)pourn∈N ? .

Exercice 58 [ 00688 ] [correction] On pose pourf(a) = R + 1 ∞ ta d + t 1 . a) Pour quelles valeurs dea, l’intégrale définissantf(a)existe-t-elle ? b) Montrer que la fonction est décroissante et de limite nulle en+∞. Exercice 59 [ 00689 ] [correction] a) Pour quelles valeurs dex, l’intégrale f(x) = Z 0 1 t 1 x + −1 t dt

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est-elle définie ? b) Etudier la monotonie def. c) Calculer f(x) +f(x+ 1)pourx >0 d) Déterminer la limite defen+∞ainsi qu’un équivalent. e) Déterminer la limite defen0 + ainsi qu’un équivalent. Exercice 60 [ 00690 ] [correction] Pourx >0, on pose ∞ F(x) = Z + e t −t dt x a) Montrer queF(x)est bien définie pour toutx >0. b) Etablir queFest de classeC 1 surR +? et calculerF 0 (x). c) Montrer limxF(x) = 0et x l → i 0 m + xF(x) = 0 x→+∞ d) Sans exprimerF(x), montrer que R + 0 ∞ F(x) dxest bien définie et calculer celle-ci. Exercice 61 [ 00691 ] [correction] x On pose, pourx >0 f(x) = R 0 x e it 2 dt= R 0 x cost 2 dt+i R 0 sint 2 dt. 2 a) Montrer que :f(x) = e ix 2ix + 2i R 0 x e it t2 2 −1 dt. −1 1 En déduire quefadmet une limite notéeλen+∞. b) On poseg(x) =λ−f(x). Montrer que pourx >0: g(x) = 21 i R x +∞ e i t t 2 2 dt e ix 2 . − 2ix c) Montrer qu’au voisinage de+∞:g(x) =− e 2 i i x x 2 +O  x 1 3  . Exercice 62 [ 00692 ] [correction] Soitϕ:R + →Rune fonction de classeC 1 intégrable. a) SoitA >0. Montrer Z 0 A ϕ(t) cos(xt) dt x − → −− + − ∞ →0 b) Montrer Z +∞ ϕ(t) cos(xt) dt x − → − + −− ∞ →0 0

Enoncés

Exercice 63 [ 00693 ] [correction] Soitg:R + →Rcontinue et intégrable. a) Justifier :∀ε >0∃M∈R  R + 0 ∞ |g(t)|dt− R 0 M |g(t)|dt  6ε. b) En déduire que toute primitive degest uniformément continue. Exercice 64 [ 00281 ] [correction] Pour toutx∈[1+∞[, on pose F(x) = x t Z 1 √ t 3 −1 dt a) Montrer queFest bien définie, continue sur[1+∞[et de classeC ∞ sur ]1+∞[. ExprimerF 0 (x). b) Etudier la dérivabilité deFen1. Préciser la tangente au graphe deFen1. c) Etudier la limite deFen+∞. d) Justifier queFréalise une bijection de[1+∞[sur un intervalle à préciser et queF −1 est dérivable sur]0+∞[et solution de l’équation différentielle yy 0 = p y 3 −1. e) Etudier la dérivabilité deF −1 en0.

Intégrales convergentes Exercice 65 [ 02346 ] [correction] [Intégrale de Dirichlet] Justifier la convergence de l’intégrale suivante : Z + 0 ∞ si t nt dt Exercice 66 [ 02383 ] [correction] Etablir : Z + 0 ∞ si t nt dt= Z + 0 ∞  si t nt  2 dt Exercice 67 [ 00694 ] [correction] [Intégrales de Fresnel] Montrer la convergence des deux intégrales suivantes Z +∞ cos(t 2 ) dtet Z + 0 ∞ sin(t 2 ) dt 0

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Exercice 68 [ 00695 ] [correction] Soitf: [0+∞[→Rcontinue. On suppose que l’intégrale suivante converge : Z +∞ f(t) dt 0 x l → im + 1 x Z x tf(t) dt ∞ 0

Calculer

Exercice 69 [ 02378 ] [correction] Soitf: [0+∞[→Rcontinue etα >0. Montrer Z + 0 ∞ f(t) dtconverge⇒ Z 0 +∞ 1 f( + t t ) α dtconverge

Exercice 70 [ 00696 ] [correction] Soitf: [0+∞[→Rcontinue. On suppose que pours 0 ∈R, R 0 +∞ f(t)e −s 0 t dtconverge. Montrer que R 0 +∞ f(t)e −st dtconverge pour touts > s 0 .

Exercice 71Mines-Ponts MP [ 02421 ] [correction] Convergence de Z +∞ e it 2 dt −∞

Exercice 72 [ 03178 ] [correction] Soitf: [0+∞[→Rune fonction continue par morceaux, décroissante et de limite nulle. Montrer la convergence de l’intégrale Z 0 +∞ f(t) sin(t) dt

Enoncés

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