ISFA 1998 1ere epreuve de mathematiques

Description

I. S. F. A. 1998-1999 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________ Durée : 4 heures Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants I On note Γ()t , ψ()t et ϕ()t les intégrales : ∞−t 1 ∞−t 1 ∞−t 1x x xΓ()t = dx ; ψ()t = dx ; ϕ()t = dx . ∫ ∫ ∫x x xe e + 1 e − 1o o o1°- Justifier pour t>0 l’existence de Γ()t et ψ()t et, pour t>1, l'existence de ϕ()t . 2°- Montrer que, pour t>1, Γ ( t )= ( t− 1)Γ ( t− 1) . Calculer Γ()n pour n entier strictement positif. Dans la suite du problème on suppose t>1 * 3°- On note ϕ ()t et ψ ()t les suites définies sur N par : n n∞−x −x −nx t−1n→ϕ ()t = e (1+ e ++ e ) x dx n ∫o∞−x −x n −nx t−1n→ψ ()t = e (1− e ++(−1) e ) x dx n ∫o(Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégrales ϕ ( t ) et ψ ( t ) ( voir 1°-)) n nJustifier les inégalités : ∞Γ ( t−1)−( n+1 )x t−2 ϕ ( t )−ϕ( t ) ≤ e x dx= n ∫ t−1( n+ 1)o∞Γ ( t )−( n+2 )x t−1 ψ ( t )−ψ ( t ) ≤ e x dx= n ∫ t( n+ 2 )o4°- On pose, pour n entier strictement positif : n+11 1 1 (−1) U ( t )= 1+ + ..+ ; S ( t )= 1− + ..+ n nt t t t2 n 2 nMontrer que : ϕ ( t )=Γ ( t )×U ( t ) ; ψ ( t )= Γ ( t )× S ( t ) n n+1 n n+1n+1(−1)1Déduire la convergence des séries et . ∑ ∑t tn n≥1 nn≥1En notant U(t) et S(t) les sommes de ces deux séries montrer que : 1 1 U( t )−U ( t ) ≤ ...

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Extrait

I. S. F. A. _________

PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES ________________________________________

Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites. Les problèmes I et II sont indépendants

I

On note Γ ( t ) , ψ ( t ) et ϕ ( t ) les intégrales : ∞t−1∞t−1∞t−1 x xx Γ ( t ) = dx  ; ψ ( t ) = dx  ; ϕ ( t ) = dx . ∫∫∫ x x x e e +1 e−1 o o o 1°- Justifier pourt>0 l’existence de Γ ( t ) et ψ ( t )  et,pourt>1, l'existence de ϕ ( t ) . 2°- Montrer que, pourt>1, Γ ( t ) = ( t − 1 ) Γ ( t − 1 ). Calculer Γ ( n ) pournentier strictement positif. Dans la suite du problème on supposet>1 * 3°- On note ϕ ( t ) et ψ ( t ) les suites définies surNpar : n n ∞ −x−x−nx t−1 n →ϕ ( t ) = e (1 + e ++ x dxe ) ∫ n o ∞ −x−x n−nx t−1 n → ψ ( t ) = e (1 − e ++ ( − e )1 )x dx n ∫ o (Il n'est pas demandé de justifier l'existence des intégrales ϕ ( t )et ψ ( t ) ( voir 1°-)) n n Justifier les inégalités : ∞ Γ −( n+1 )xt−2 ( t−1 ) ϕ( t )−ϕ( t )≤dxe x= ∫ n t−1 o ( n+1 ) ∞ −( n+t2 )x−1 Γ( t ) ψ( t )−ψ( t )≤e xdx= ∫ n t o ( n+2 ) 4°- On pose, pour n entier strictement positif : n+1 1 11 ( − 1 ) t )U (=1+ +..+ ; t )S (=1− +..+ n n t tt t 2 n2 n Montrer que : ϕ ( t )= Γ ( t )×U (t ) ; ψ ( t )= Γ ( t )×S (t ) n n+n1 n+1 n+1 1 (−1 ) Déduire la convergence des sérieset . ∑ ∑ t t n n≥1 n n≥1 En notant U(t) et S(t) les sommes de ces deux séries montrer que : 1 1  U( t )−t )U (≤;S( t )−t )S (≤. n n t−1 t ( t−1 )n( n+1 )

1998

1998-1999 _________

Concours d'Entrée _______________