ISFA 1999 1ere epreuve de mathematiques

Description

I. S. F. A. 1999-2000 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ PREMIÈRE ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Le problème proposé porte sur l'étude de certaines propriétés des minimun des fonctions +∞ qm→ x− m f (x)dx où q est un entier et f(x) une fonction positive. La notation I (x) désigne la fonction qui prend A∫−∞la valeur 1 si x∈A et 0 sinon. La rédaction a été conçue pour que les parties A , B et C soient très largement indépendantes. Seules les questions B-6° et C-4° utilisent les notations et certains résultats de la partie A. - A - Soit f une fonction réelle à valeurs réelles positives, continue et dont le support {x / f(x)>o} est un intervalle borné ou non et non vide. +∞ nOn suppose que les intégrales I = x f (x)dx sont absolument convergentes pour tout entier n positif ou nul et que n ∫−∞+∞l'intégrale I = f (x)dx est égale à 1. 0∫−∞+∞ 21°) On note ϕ(m) l'intégrale (x− m) f (x)dx . ∫−∞a - Montrer que ϕ(m) existe pour tout réel m. +∞b - Montrer que la fonction m→ϕ(m) est dérivable en tout point m et a pour dérivée :2. (m− x)f (x)dx ∫−∞c - En déduire qu'il existe un unique réel (noté m ) tel que, pour tout réel m, on ait : ϕ(m )≤ϕ(m).Donner 2 2l'expression de m à l'aide de l'intégrale I. 2 1+∞2°) On note ψ(m) l'intégrale x.− m f (x)dx ∫−∞a - Montrer que ψ(m) existe pour tout réel m.b - Montrer que la fonction m→ψ(m) est dérivable en tout point m. (on ...

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• Publié par: shura
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