I. S. F. A. 2002-2003 _________ _________ Concours d'Entrée _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées. OPTION B PRELIMINAIRES Un contrat d’assurance décès liant un assureur et un assuré engage le premier au versement du capital fixé au contrat en cas de décès de l’assuré pendant la période de garantie, que l’on prendra égale à une année dans ce problème. En contrepartie de la garantie offerte, l’assuré verse, à la souscription du contrat, une « prime » à l’assureur. Le portefeuille d’un assureur est constitué de υ contrats du type ci-dessus. Exprimés dans un multiple convenable d’euros, les capitaux assurés prennent les valeurs 1, 2,…,a . Les assurés sont d’autre part rangés dans b classes d’âge : ceux de la classe j ont la probabilité annuelle de décès p avec p <12 (j=1,2,…,b). j j On suppose de plus qu’au sein de ce portefeuille, les décès sont indépendants : les variables aléatoires réelles (v.a.r.) associées à 2 contrats différents sont des v.a.r. indépendantes. La répartition des υ contrats en capitaux et classes est décrite dans le tableau suivant Classes 1 L j L b Total Capitaux 1 υ υ υ 11 1 j 1bM i υυυ21 ij ibM a υυυa1 aj abυ Total υ L L υ υ1 j badans lequel υ désigne le nombre de contrats de la classe j prévoyant le versement du capital i . On note υ =υ ∑ij jiji =1bavec υ=υ . ∑ jj =1 On pose (j=1,…,b) . ...
dans lequelυijdésigne le nombre de contrats de laclassejprévoyant le versement ducapitali. On noteυj
a = υiji=1
L
L
convenable deuros, les capitaux assurés prennent les valeurs 1, 2,,a Les assurés sont dautre part rangés dans .b classes dâge : ceux de la classejont la probabilité annuelle de décèspjavecpj< (1 2j=1,2,,b). On suppose de plus quau sein de ce portefeuille, les décès sont indépendants : les variables aléatoires réelles
La répartition desυcontrats en capitaux et classes est décrite dans le tableau suivant
j
(v.a.r.) associées à 2 contrats différents sont des v.a.r. indépendantes.
1
Classes
υ21
υa1υ1
υib
υabb
L
υ11
On considère la v.a.r.Nijnombre annuel de décès parmi lesυijassurés de la cellule (i,j), puisNj
On poseqj=1−pj(j=1,,b) .
b avec∑υj= υ. j=1
ajυj
b nombre total de décèsNdans le portefeuille :N=∑Nj. j=1
Nijet le
a = i=1
Ma
Mi
Le portefeuille dun assureur est constitué deυ contrats du type ci-dessus. Exprimés dans un multiple
Total
υ1b
υij
Capitaux 1
b
υ
contrat en cas de décès de lassuré pendant la période de garantie, que lon prendra égale à une année dans ce problème.
En contrepartie de la garantie offerte, lassuré verse, à la souscription du contrat, une « prime » à lassureur.
PRELIMINAIRES
Un contrat dassurance décès liant un assureur et un assuré engage le premier au versement du capital fixé au
DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrices autorisées.