L'espace E R4 est muni de sa structure euclidienne canonique

Laurent Llabres

Description

Niveau: Supérieur
Sujet 40 L'espace E = R4 est muni de sa structure euclidienne canonique. 1. On considere la matrice A = 1 4 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 ?1 0 0 1 0 1 ?1 0 1 0 0 1 0 1 ? ? ? ?+ √ 2 ? ? ? ? 1 ?1 1 1 1 1 1 ?1 1 ?1 1 1 ?1 ?1 ?1 1 ? ? ? ?+ √ 3 ? ? ? ? 0 ?1 0 ?1 1 0 ?1 0 0 1 0 1 1 0 ?1 0 ? ? ? ? ? ? ? ? et on note f l'endomorphisme de E canoniquement associe a A. (a) Verifier que A est une matrice orthogonale. (b) Calculer son polynome caracteristique P et en donner une factorisation P = QR ou Q et R sont des polynomes unitaires de R[X] du second degre sans racines reelles. (c) Verifier que E = ker (Q (f))? ker (R (f)). (d) Donner la matrice de f dans une base orthonormale adaptee a la somme directe de la question precedente. En deduire une caracterisation geometrique des endomorphismes in- duits par f sur ker (Q (f)) et ker (R (f)).

• d1 ?d1


• p1 ?


• matrice reelle diagonale par blocs semblable


• ?? v3


• matrice orthogonale


• a?nes de l'espace r3


• repere orthonorme canonique

Sujets

• Matrice orthogonale

Informations

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Extrait

Épreuve orale 2009

Mathématiques II - Filière PC

Épreuve orale de Mathématiques II - Filière PC

Exemples d’exercices proposés lors de la session 2009

Énoncé 1 PourAdeM n ^ R h , on considère l’application{définie surM n ^ R h par { ^ M h =A M-M A. 1. Danscette question on prend 3 J 0 2 - 20 N K O 4 -1 4 0 K O A= 3 3 - 2 5 0 K O - 53 -5 2 L P a) Donner les éléments propres deA.  OnnotePune matrice de passage de la base canonique à une base de vecteurs propres. b) On no i h la base canonique de 4 ^ h . te ^ E ,j ^ , h " , , MR 2 i j!1 4 - 12 i. Calculerles matricesF i,j =P E i,j Ppour ^ i,j h de " 1, 4 , . ^ h par . ii. Calculerles images desF i,j ^ j h ! " 1 4 , { 2 i, ,  Quepeut-on en conclure ? c) Retrouver ce résultat dans le cas général d’une matriceAde M n ^ R h diagonalisable. 2. Danscette question on prend J 810 17 - N K O 4 -4 -2 2 1 K O A= 3 1 - 41 2 K O - 25 -2 -4 L P Est elle diagonalisable ? 4 Vérifier queA= 0. k Déterminer le plus petit des entiers naturelsktel que{soit l’endomorphisme nul.

Énoncé 2 n n PourAdeM n ^ R h etBdeR, on étudie le système linéaireA X=B, d’inconnueXdansR. n n Lorsque la diagonale deAne contient pas de termes nuls, pourUdeR, on définit par récurrence une suite de vecteurs deR, ^ m h mm ^ i h par 0 et, pour tout ^ h de , ^ Y h m!N avecY=y 1GiGn Y=Um,iN# " 1,n , n 1 ^ m+ 1 h ^ m h / y i =b i,i -a i,j y j e o a i,i j = 1 j!i t convergente, la limite est une solution de. 1. Montrerque si la suite ^ Y m h m!N esA X=B 2. Calculerles vingt premiers termes d’une telle suite lorsque R VR VR V - 12 3411 S WS WS W 2 34 521 S WS WS W A=,B=etU=, S WS WS W 3 45 612 S WS WS W 4 56 -721 T XT XT X A n / puis recommencer avec unUde votre choix et une matriceAtelle que pour toutide " 1,n , :a i,i 2a i,j . j= 1 j!i - 1 (On pourra observer queX l =U ^ X h  oùU ^ X h =D ^ B- ^ A-D h X h ,Dla matrice diagonale étantdiag ^ a 1,1 ,…,a n,n h  etpro- grammer une fonctionJqui prend en arguments une matrice carréeA, deux vecteursBetX(de tailles adaptées) et retourne le vecteurX l =J ^ A,B,X h défini par la récurrence ci-dessus - c’est-à-direY m+ 1 =J ^ A,B,Y m h -) er surpour qute m 3. Quellecondition peut-on imposAe la sui ^ Y h m!N converge quelle que soitU?

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