Mathématiques 1999 Classe Prepa B/L Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option lettre et sciences humaines

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 4 pages

Année 1999

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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PREMIER PROBLEME 2 1. Soitfune fonction de classeCsur[a; b];telle quef(a) =f(b) = 0; x 0 étant un élément de]a; b[, montrer quil existex 1 de]a; b[tel que : f"(x 1 ) f(x) =(xa)(xb): 0 00 2 On pourra appliquer plusieurs fois le théorème de Rolle à la fonction auxiliaire : f(x) 0 ':x7!f(x)(xa)(xb) (x 0 a)(x 0 b) après avoir calculer'(a); '(x 0 )et'(b): 2 2. Soitgune fonction de classeCsur[a; b]telle que, pour toutxde[a; b]; m6g"(x)6M: (a) Soithlapplication dénie par : xb xa h(x) =g(x)g(a) g(b); ab ba en appliquant le résultat précédent à la fonctionh, montrer que, pour toutxde[a; b]; (xa)(xb)xb xa(xa)(xb) M6g(x)g(a) g(b)6m : 2ab ba2   b R xb xa ba (b) Montrerqueg(a)+g(b)dx= [g(a) +g(b)]: ab ba2 a (c) Endéduire que : b Z 3 3 (ba)ba(ba) M6g(x)dx(g(a) +g(b))6m : 12 212 a 3. n+1 R (a) Calculerln(x)dxpournentier strictement positif. n (b) Utiliserla double inégalité démontrée au 2c pour montrer que :   1 11 6n+ [ln(n+ 1)lnn]16: 2 2 12(n2 12+ 1)n 4. Onconsidère les deux suites réelles(U n ) n et(V n ) n dénies pour toutn>2par : 1 n+1=2n U n = ln(n e)ln(n!)etV n =U n +: 12(n1) Montrer, en utilisant le résultat établi à question 3, que les deux suites(U n ) n et(V n ) n sont adjacentes et quelles convergent vers un réelCqui vérie : 1 C< U n < C: 12(n1)

=2 R n 5. Ondénit la suite(I n ) n par la formuleI n = sinxdx: 0

(a) CalculerI 0 etI 1 :

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(b) Vérierque(I n ) n est une suite décroissante. (c) Trouverune relation de récurrence entreIetI;en déduire les valeurs deIpuis deI : n+2n2n2n+1

6. Démontrer,en utilisant la double inégalitéI 2n1 > I 2n > I 2n+1 ;que : 4n4 2 (n!) lim =: 2 n!+1 [(2n)!]n 1 En déduire queC=ln(2): 2 Remarque importante: bienque les di¤érentes questions soient dépendantes, on pourra utiliser un résultat énoncé, mais non démontré, pour la suite du problème.

SECOND PROBLEME

Une société denvergure nationale qui commercialise "clés en mains" des ordinateurs propose des contrats de maintenance par lesquels elle sengage à dépanner les entreprises qui le demandent dans lheure qui suit lappel téléphonique; mais il sest avéré que dans12% des cas, elle ne pouvait tenir ce délai, et quelle dépannait ses clients avec retard.On admettra que les appels et leur éventuel retard se produisent indépendamment les uns des autres.

Partie I Une entreprise a appelé le service de dépannage à10dates di¤érentes; on désigne parXle nombre de fois où lentreprise a subi un retard. 1. Donnerla loi de probabilité suivie parX;préciser son espérance et son écart-type. 4 2. Calculerà10près la probabilité des évènements suivants : (a) lentreprisea subi au moins2retards. (b) lentreprisea subi au moins3retards sachant quelle en a subi au moins1:

Partie II Lantenne parisienne de la société note les appels successifs quelle reçoit avec leurs caractéristiques :nom du ieme client, durée de lintervention, retard éventuel, ...On désignera parY k le rang dukappel du est traité avec retard; on dénit ainsi une suite de variables aléatoires. 1. Onsintéresse en premier lieu à la loi suivie parY 1 : (a) Donnerla probabilité de lévènementY 1 =n; (b) Calculerlespérance et la variance de la variable aléatoireY 1 : 2. Traiterles mêmes questions pour la variable aléatoireY 2 :

Partie III La société pense quelle aura lan prochain1500appels pour lensemble de la France; on désigne parZle nombre dappels qui seront traités avec retard. 1. Justierle fait que lon peut approcher la loi deZpar une loi normale dont on précisera les paramètres. 2. Calculeralors les probabilités des évènements suivants : 180< Z <200; Z <200sachant queZ >180: 3. Déterminerle nombremtel que la probabilité queZfasse partie de lintervalle[180m;180 +m]soit0;95:

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Partie IV Après avoir réorganisé ses équipes de dépannage, la société veut contrôler une éventuelle amélioration en interro- geant par sondage un nombreN 0 de ses clients.

1. Ensupposant que la fréquence des mécontents est inférieure à10%, déterminer le nombre minimalN 0 de clients à interroger pour avoir une incertitude maximale de3% sur la fréquence (risque5%).

2. Lasociété en a interrogé en réalité205; 18se sont déclarés mécontents; donner lintervalle de conance au risque5% pour la fréquence cherchée.

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