Mathématiques 1999 Classe Prepa HEC (ECT) Institut Sup. de Commerce Inter. de Dunkerque

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Examen du Supérieur Institut Sup. de Commerce Inter. de Dunkerque. Sujet de Mathématiques 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques 1999 sur Bankexam.fr.

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• 1999

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 44
• Langue: Français

Extrait

ISCID 1999 Option technologique

Exercice 1 0 SiI n n,onrdrera,pposevnneraoc,itnoesamtlirtau-ec´tino’deM=I n pour toute matriceMerrrac,dro’dee´n. On noteraIlmanit´ed’oatrice-u-tsed-a`erdr’c(4eirI=I 4 ) Soient (a n ) n∈N ,(b n ) n∈N ,(c n ) n∈N ,(d n ) n∈N :,dleenimrete´dsetiusseen´onadrlpaes´e   a 0 = 2a n+1 =−a n −6b n + 9c n −6d n     b 0 =−1b n+1 = 3a n + 8b n −9c n + 6d n etlesrelationsder´ecurrence: c 0 = 1c n+1 = 2a n + 4b n −4c n + 4d n     d 0 =−1d n+1 =a n + 2b n −3c n + 4d n   a n b n  1. Soit,pour tout entiern>0,X n =   c n d n (a) Montrerqu’il existe une matriceAr´ar,centietroutpourque,leel4et,rordee’dn>1,X n+1 =AX n . 2 2 (b) CalculerA’iquertredstxilelee´rxueM.nosαetβtels queA=αA+βI. −1 (c)End´eduirequeAnvtisiere.bl´ePrtneslaresroseAsous forme d’un tableau de nombres. 2. Soient(u n ) n∈N , et (v n ) n∈N e´seap:re´etmrnisdteuissle,   u 0 = 1u n+1 =−2v n etlesrelationsdere´currence: v 0 = 0v n+1 =u n + 3v n n Montrerparre´currenceque,pourtoutentiern>1,A=u n I+v n A. 3. (a) Montrerqu’il existe une matriceM2et,leeluq,eopru,carr´eed’ordrreitnetuotn>1,    u n+1 u n =M v n+1 v n   2 1 −1 (b) SoitP= .Montrer quePest inversible, et calculerP . −1−1 −1n 4. SoitD=P MP. CalculerD, puis, pour tout entiern>0,D. 5. n n−1 (a) Montrerque, pour tout entiern>0,M=PP D. n (b)Pre´senteralorsMsous la forme d’un tableau de nombres. (c) Exprimeru n etv n en fonction den. 6. n (a)D´eduiredecequipre´c`edel’expression,pourtoutentiern>0, deAsous la forme d’un tableau de nombres. (b) Donneralors l’expression dea n , b n , c n , d n en fonction den. n (c) L’expressiondeAobtenue en a.) pourn>0 est-elle encore valable pourn=−1 ?

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Exercice 2 On rappelle que 2< e <3. On pose, pour tout entier natureln, e Z n I n = (lnt)dt 1 1. (a) Justifierque, pour toutn,I n >0. (b) CalculerI 0 pnraaptre´rgtaoiies,up,e,siunntnteiffeneuactI 1 . (c)Demˆeme,eneffectuantuneint´egrationparparties,trouverunerelationdere´currenceentreI n etI n+1 . D´eduiredecetterelationder´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, on a : e 0< I n 6 n+ 1 End´eduirequelimI n = 0. n→+∞ 2. n (a)Montrerparr´ecurrenceque,pourtoutentiernatureln, il existe un entierp n tel queI n = (−1) (ep n −n!) et exprimerp n+1 en fonction dep n . ep n (b) Montrerque lim= 1 n! n→+∞ Exercice 3 Partie A On dispose de deux boˆıtesB 1 etB 2 ,bxueeluomunsore´eet´ets12.dtdee Onconside`rel’e´preuveal´eatoireconsistanta`placerauhasard,demanie`re´equiprobable,etind´ependammentl’une del’autre,chaquebouledansuneboıˆte. On appelle alors : Xelbairavalteˆınsdabolaedobluseuaonbmerre´egaleal´eatoiB 1 ; Nobedetıˆonelerbmel.)taanenntouebunuc-a`-tse’oceneridl’´er`esve(cpreu´teerssesepavsdi 1. Quelleest la loi deX? Donner les valeurs deE(X) etV(X). 2. (a)D´eterminerpouri∈ {0,1,2},etj∈ {0,1}pselt´esbilirobaP((X=i)∩(N=j)). Pr´esenterlesre´sultatssouslaformed’untableau`adoubleentre´e. (b) Donnerla loi deN. CalculerE(N) etV(N). 3. 3 2 P P (a) CalculerE(XN) =ijP((X=i)∩(N=j)). i=0j=0 (b)Ende´duirecov(X, N). (c)Lesvariablesal´eatoiresXetNno-tleelisdne´epndantes?s

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Partie B On dispose maintenant de trois boˆıtesB 1 , B 2 etB 3 ,i´otebes1usoelnstmeueed´rotr,2 et 3. Onconsid`erel’e´preuveale´atoireconsistant`aplacerauhasard,demani`ere´equiprobable,etinde´pendammentl’une de l’autre, chaque boule dans une boˆıte. On appelle, comme dans lapartie A Xsdleoueboˆabslanetıvalbleaariatoirl´ealaae´egerbdenumoB 1 ; Nlderbmone.)eluobenuctenantauireneconse-ta`d-ervu(e’csl`eep’´deviprsatsersee´ˆobesetı 1. Quelleest la loi deX?Pnt´emet´eltruop,uosire´rcekde{0,1,2,3}, la valeur deP(X=k). Donner aussi les valeurs deE(X) etV(X). 2.Comple´terletableaudonne´enannexe,quidonnelesvaleursrespectivesdesvariablesal´eatoiresXetN selonler´esultatdel’e´preuveal´eatoireeffectue´e. 3. (a)De´duiredel’examendutableaupre´c´edentlesvaleurs,pouri∈ {0,1,2,3}, etj∈ {0,1,2}des probabi- lite´sP((X=i)∩(N=jrlesr´esultatssosualofmrdeu’tnbaauledo`aleubtren.ee´P.))etnese´r (b) Donneralors la loi deN. CalculerE(N) etV(N). 4. 3 2 P P (a) CalculerE(XN) =ijP((X=i)∩(N=j)) i=0j=0 (b)Ende´duirecov(X, N). (c)Lesvariablesal´eatoiresXetNsont-ellesind´ependantes?

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Annexe Contenu de B 1 Contenu de B 2 Contenu de B 3 Valeur de NValeur de X 1, 2, 3- - 1, 23 - 1, 2- 3 1, 32 - 1, 3- 2 2, 31 - 2, 3- 1 1 2,3 - 1 2 3 1 3 2 1 -2, 3 2 1,3 - 2 1 3 2 3 1 2 -1, 3 3 1,2 - 3 1 2 3 2 1 3 -1, 2 - 1,2, 3- - 1,2 3 - 1,3 2 - 2,3 1 - 12, 3 - 21, 3 - 31, 2 - -1, 2, 3

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