Mathématiques 2 2003 Classe Prepa PSI Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

Vincent

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2003 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 février 2007
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• Langue: Français

Extrait

SESSION 2003PSIM207 EPREUVE SPECIFIQUE  FILIERE PSI ______________________ MATHEMATIQUES 2 Durée : 4 heures Les calculatrices sont autorisées. **** N.B. Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil a été amené à prendre. **** On désigne parNl’ensemble des entiers naturels, parN*l’ensembleNpar0 et privé deR l’ensemble des nombres réels. Etant donné un entier naturelnnote, on [[ 0,n ]]  l’ensembledes entiers naturelskque tels 0≤k≤n. On noteR [ x ]  l’espace des polynômes à coefficients réels et, pourk∈N, on noteR [ x ]  le sous k espace de R [ x ]  despolynômes de degré inférieur ou égal àkidentifiera le polynôme. On P∈ R [ x ]  avec la fonction polynôme associée. On note C  l’espace des fonctions continues définies sur l’intervalle [ −1,1 ] à valeurs dans etR, on note R des restrictions à l’espace [ −1,1 ]  des polynômes de R [ x ]  et on note R  l’espace des k restrictions à [ −1,1 ]  despolynômes deR [ x ] abus, on appellera polynôme une fonction de. Par k R . Le but du problème est de définir une méthode de calcul approché d’une famille d’intégrales. Dans la partie I, on étudie une famille de polynômes. La partie II utilise une structure d’espace préhilbertien réelde l’espace C obtenir une formule de calcul exacte de certaines intégrales., pour La partie III conduit à la méthode de calcul approché annoncée.

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Dans tout le problème,n désigne un entier naturel. Pour tout entiern∈N, on définit la fonction t ∈ C pour tout par : x∈ [ −1,1 ] , ( x ) =cos ( n Arccosx ) . nn PARTIE I 1. Simplifier les expressions de, et, ,constater que ces fonctions ont des expressions 0 1 2 3 polynomiales, que l’on explicitera. 2. Tracer, sur un même dessin, les graphes de 0 , 1 , 2 et 3 . Préciser les racines et les extremums de chaque fonction. 2k+1 Pour n∈N* et k∈ [[ 0,n−1 ]] , on note θ=π etx=cos (θ k ). kk 2n 3. Pour n∈N* . Montrer que les racines de, déterminer les racines de la fonction n  sont n deux à deux opposées. 4. On suppose l’entiern≥2. Soitp∈ [[ 1,n−1 ]] . n−1 ipθ k 4.1Calculer la sommee. ∑ k=0 n−1 4.2Montrer que ( ) =0 ∑ t p x k . k=0 Pour x∈ [ −1,1 ] , le changement de variable bijectifθ=Arccosx, permet d’écrire ( x ) =cos (nθ) n avecθ∈ [ 0,π ] . Pourx ) + ( x ) 5. n≥1 , exprimer n+1 ( n−1 en fonction dex et de ( x ) . n 6. En déduire que pour tout n∈N , la fonctionest la restriction à l’intervalle [ −1,1 ]  d’un n polynômeT de R [ x ] . Préciser le degré deT etle coefficient de son terme de plus haut n n degré. 7. Montrer que pour tout entier n≥1 , lepolynômeT n  n’a pas de racine complexe non réelle. PARTIE II f ( x ) 1. Soitfune fonction de C que la fonction. Montrerx ! est intégrable sur ] −1,1 [ . 2 1−x n 1 x 2. Pour n∈N , on noteI=dx. ∫ − 1 2 n 1−x  2 

2.1CalculerI etI. 01 n≥ I I 2.2Pour 2 , donner une relation entre n  et n−  (on pourra, entre autre méthode, utiliser 2 le changement de variableθ =Arccosx ). I 2.3En déduire les valeurs deI et I est la valeur de. Quelle 2p+  pour p∈N ? 2 4 1 3. Définition d’une structure préhilbertienne réelle sur C . f ( x ) g x ) 1 3.1Montrer que l’application de C × C  dansR définie par ( f,g ) !<f g> =dx ∫ − 1 2 1−x définit un produit scalaire sur C  . 3.2, pourMontrer que la famille de fonctionp0,n ]] , est une base orthogonale de p l’espace vectoriel R . n  Calculerla norme de chaque fonction. p 3.3 Déduire de ce qui précède que, pour tout n≥1 tout et k∈ [[ 0,n−1 ]] on a , k x t ( x ) 1 n dx=0 . ∫ − 1 2 1−x 4. On veut monter qu’il existe trois réelsa,a,a uniques, tels que pour tout polynômeP∈ R , 0 1 25 on a 1    p ( x ) −3 3    (1) dx=a P+a P ( 0 ) +a P . ∫ − 1 2 0 12 − 2 2 1x    4.1On suppose que l’égalité (1) est satisfaite par tout P∈ R . En prenant successivement les 5 2 polynômesPdéfinies parP ( x ) =1, P ( x ) =x , P ( x ) =x , déterminer les réelsa,a,a. 0 1 2 4.2Montrer que le triplet ( a,a,a ) convient pour les polynômes trouvéPpar définies 0 1 2 4 5 P ( x ) =x puisP ( x ) =x. En déduire que l’égalité(1) estvérifiée pour tout polynôme P∈ R . 5 5. calcul d’une intégrale. 4 x 5.1Montrer que la fonctionx! est intégrable sur ] 0,1 [ . x ( 1−x ) 4 1 x 5.2Calculer l’intégrale J=dx , à l’aide du changement de variablet=2x1 et ∫ 0 x(1−x) de la formule (1).

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PARTIE III ∈ f∈ C a 0 1 … 1 Soit nN* ,. Etant donné des réelsa, ,a n−  etune fonction, onnote n−1  2k+1  S n f ∑ a k f x k  où k   ( ) = ( ) x=cosπ. k=0  2 n  On se propose de montrer qu’il existe des réelsa,a,…,a uniques, tels que pour tout polynôme 0 1n−1 R P de − , on ait : n 1 1 P ( x ) (2) dx=S ( P ) . ∫ − 1 2 n 1−x 1. (2) estsatisfaite pour toutOn suppose que l’égalitéP∈ R n − 1 . Enp  renantsuccessivement n − 1 pour polynômesPmonômes 1, lesx, ,x,, montrerque la, ,a …es réelsa 0 1 … n − 1  sontles solutions d’un système den équations linéaires àn inconnues, dont le déterminant est non nul (on ne demande pas le calcul des intégrales qui interviennent dans le second membre du système). 2. On suppose qu’il existe des réelsa,a, … ,a − que, pour tout tels p∈ [[ 0,n−1 ]] , la relation 0 1n1 (2) soitvérifiée par les fonctions. p 2.1vérifiée pour tout polynôme(2) estMontrer qu’alors la relation P∈R . n−1 2.2En utilisant ce qui précède, en particulierI.4etII.3,montrer que les a sont tous égaux et k calculer leur valeur. a P R 2.3On suppose que les k ont la valeur trouvée en2.2. Soit un polynôme de n − . En 2 1 écrivant la division euclidienne deP(sur par [ −1,1 ] ), montrer queP vérifie (2). n 1 g ( x ) Etant donné une fonctiong∈ C note, onD ( g ) =dx−S ( g )  eton note ∫ − 1 2 n n 1− x g=Sup g ( x ) . ∞ x∈ [ −1,1 ] 3. Soitf∈ C . 3.1Soit P∈ R . Montrerqu’il existe un entiern>0 ,qui dépend deP ,tel que pour tout 0 n≥na, on D ( f ) ≤ 2 πf−P . ∞ 0n f ( x ) 1 3.2 En déduirelimS ( f ) =dx. n→+∞ ∫ − 1 2 n 1−x x 4. Pourx∈ [ − 1,1 ] , on prendf ( x ) =e. Soitm un entier deN*. +∞ 1 11 ∑ ∑ 4.1 Montrer que la sérieconverge et que≤. k ! k ! m . m ! k≥0k=m+1  4 

1 4.2 Déterminer un polynômeP de degrém tel quef−P≤. ∞ m.m! x e 3 1 4.3Justifier queS ( f )  fournitune valeur approchée de l’intégrale dx  à10 ∫ − 1 2 4 1−x près. 4.4Calculer cette valeur approchée. Fin de l'énoncé.

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