Mathématiques 2 2007 Classe Prepa HEC (S) HEC

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Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques 2 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2007 sur Bankexam.fr.

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• 2007
• HEC

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 14 juin 2007
• Nombre de lectures: 65
• Langue: Français

Extrait

HEC 2007, math 2, option scientifique Pourtoutevariableal´eatoirere´elleY´efindruneiesupeorpscail´sabibΩe(,A, P)tnad´esspoet uneespe´rancemath´ematique,onnoteE(Y)cetteesruoprpalre´pecna´eabobitilP. Pour tout e´ve´nementCdeAtel queP(C)>0,ese´rsuos,etonno,ceenstxi’eedrvE(Y /Cede’e)l´espncraY pourlaprobabilit´econditionnelleP C etidionecedllneone(pse´arcnYsachantC). Partie I Cettepartieconstitueuneapplicationparticulie`redesr´esultatsge´n´eraux´etudie´sdanslasuitedu proble`me. Onposse`denurnes (n>nu3)`1aseedtoe´´mrenlpeasrotqnure´lehsalseasi,tdaaunedafdrtec¸no inde´pendante,mboules indiscernables (m>4), de sorte que, pour toutide[1, n,l]]roapbibat´lie pourchaquebouled’eˆtreplace´edansl’urnenume´roi1a`elage´tios/n. ` Onsupposequecetteexpe´rienceestmod´elise´eparunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). A l’issue de cetteexp´erience,onposepourtoutide[1, n]] : n o 1 sil’urne niest vide X i = 0 sinon n X On poseW n =X i . i=1 1)a)uotD´eterminerpourtide[1, n],]aleirtoeal´aelbairavalediolX i . b)Pour tout couple (i, j) d’entiers de[1, n]] distincts, calculerP([X i = 1]∩[X j = 1]), ainsi que la covariance deX i etX j riablesa.Lesvase´laeotriX i etX j inesepd´ntsoll-e?adnesetn 2)a)rancsp´erl’erimepxEeE(W n ) deW n en fonction denetm. b)On noteV(W n ) la variance deW n . CalculerV(W n ) en fonction denetm.    2m m 1 2 2 c)Vire´lrefieg’´ital:´eE(W n )−V(W n ) =n1− −n(n−1) 1−. n n Ende´duirequeE(W n )−V(W n )>0. 3)Dans cette question, l’entiermre´vefiim=bnlnn+θnc,o`uθtsnaet´rtsnucenoeellee positive etbxctrapalengise´dredeti`eieenx. a)Calculer limE(W n ). n→+∞   b)limMontrer queE(W n )−V(W n ) =0. n→+∞ c)SoitT n isPodeoiarepndsoiuqeriotlenutiusunevariableal´eartemae`µ n =E(W n ). On admet que pour toutkdeN, on a :     1 |P([W n =k])−P([T n =k])|6min 1,×µ n −V(W n ) µ n Quelleestlalimiteenloidelasuitedevariablesal´eatoires(W n ) n>3 ? −θ 4)On poseµsnpue,otuqleopesam`eepaer=treµest inconnu. Dans cette question, on veut estimerµ. ∗ Pourpentier deNere`nu,onconsidp-hce´itnaonlld´inenepntdae´ubirtsdintmeueiqntde,i (T 1 , T 2 , . . . , T p `mteaparnoediossidePlalo)dereµ. On pose : p X 1 √ T p −µ T p =T i etU p =p √ p µ i=1 a)Montrer queT p tsmitaueseutenerduntgeeretm`rapaaibsnasrvnoctesiµ. b)iteealimdelanloiuQseltleel´ealoiats(retiusvedeairaselbU p ) p>1 ? c)On veut construire, pourpeledocfinnaecausdsaepzgrand,unintervalm`rareetµau risque αode´nnioS.tuittfopiseleuqlstrr´eementicteelP([U>u]) =α/`u2oUest une variable ale´atoirequisuitlaloinormalecentr´eere´duite. Justifier que pourpssagreze:rcritue´noepna,dP([|U p |6u]) = 1−αrsloarenimrete´dte, un intervalle de confiance [I p , J p ] pourµau risqueα.

Partie II Dans cette partie,λlee´irtsmetcptneitos.ifd´esigneunr SoitMaborpeca(e´silibΩevunlbaeraaiotri´laefinieed´enespsuru,A, P) qui suit une loi de Poisson deparam`etreλ. SoitAune partie quelconque deNetAnsredantai´emecnoslpmoN. On rappelle que siAest i X λ −λ non vide, alors,P([M∈Aet on pose par convention [e ,]) =M∈ ∅] =∅. i! i∈A Onconsid`erelafonctionf A ruseid´efinNparf A (0) = 0, et pour toutkdeN:   k! λ f A (k+ 1) =eP([M∈A]∩[M6k])−P([M∈A])×P([M6k]) k+1 λ 1)a)reteenim´Dionrlafonctf A dans les cas particuliersA=∅etA=N. b)Donner l’expression def A (1) en fonction deλet deP([M∈A]) dans les deux cas suivants : 0∈Aet 0∈A. Exprimerf A (2) en fonction deλet deP([M∈A)]adsnelacos`u0et1appartienn`tneaA. 2)SoitAetBdeux parties deNdisjointes. a)Montrer quef A∪B =f A +f B . b)ueeqirdu´endEf=−f A . A 3)a)Montrer que pour toutkdeN, la fonctionf A atelnsioifierarel´vaviu:etn  P([M∈A]) sik∈A λf A (k+ 1)−kf A (k) = −P([M∈A]) sik∈A b)inEquesiuer´ddeAest non vide et distincte deN, la fonctionf A n’est pas identiquement nulle. 4)Dans cette question,jest un entier naturel non nul, etAest le singleton{j}. On pose f {j} =f j . ∗ a)Pour toutkdeNrtno’lre:em,esuivant´egalit´  k!   P([M>ksi+ 1])k>j k−j+1 j!λ f j (k+ 1) = k!   −P([M6k]) sik < j k−j+1 j!λ b)Calculerf j (j+ 1)−f j (jterete´d,)e.signrsonmine ∗ c)Calculer pour toutkdeNetdenerff´di,j,f j (k+ 1)−f j (k) en distinguant les deux cas : k > jetk < jerendiff´cednE.ude´qerialeuf j (k+ 1)−f j (k) est positive si et seulement si k=j. −λ   1−e 1 ´ d)anivs:te´tilusselnriisleabgaet´Ef j (j+ 1)−f j (j)6 6min 1,. λ λ ∗ 5)Onconsinotelgniselere`d{0}et on posef {0} =f 0 . Montrer, pour toutkdeNn´eg,l’iital´e suivante :f 0 (k+ 1)−f 0 (k)60. ´ 6)a)Etablir pour toutkdeN,’lnie´aguiest´lie:ntvaf A (k+ 1)−f A (k)6f k (k+ 1)−f k (k). (on distinguera les deux cas :k∈Aetk∈A) b)nEeitrapetrtou,pouuired´edAdeNi’l,et:anivsu´eitalegn´   1 sup|f A (k+ 1)−f A (k)|6min 1, k>0 λ Partie III Soitn´egaurou.Oncl`a2`drenoisep´suieerenunertindantesirbaaveal´salediesirtosete`rcsnepe´dni X 1 , X 2 , . . . , X n ´dfieinseusurmnmeˆepaesprceabobsiliΩ(e´,A, P), telles que pour toutide[1, n]], lavariableale´atoireX i emararte`lluopediBernoideunelsuitp i strictement positif. 2