Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (ECE) EDHEC Lille

Description

Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 164
• Langue: Français

Extrait

EDHEC School of management

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours dadmission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES Option économique Année 2001

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document :seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

Lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1 Edésigne un espace vectoriel réel surR;rapporté à sa baseB= (e 1 ; e 2 ; e 3 ). On désigne paraun réel non nul et on considère lendomorphismef a de E, déni par : f a (e 1 ) = 0f a (e 2 ) =f a (e 3 ) =ae 1 +e 2 ae 3 2 A. 1. (a)Ecrire la matriceA a def a relativement à la base B et calculer a (b) Montrerque0est la seule valeur propre deA a . (c)A a Est-elle inversible ?est-elle diagonalisable ? 2. Onposeu 1 =ae 1 +e 2 ae 3 . 0 (a) MontrerqueB= (u 1 ; e 2 ; e 3 )est une base deE 0 1 0 0 1 0 @ A (b) Vérierque la matrice def a relativement à la baseBestK 0 0= 0 . 0 0 0 Dans la suite, on cherche à caractériser les endomorphismesgde E tels quegg=f a . 0 3. Onsuppose quun tel endomorphismegexiste et on note M sa matrice dansB. 2 (a) ExpliquerpourquoiM=Kpuis montrer queM K=KM.

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0 1 0x y @ A (b) Déduirede ces deux relations queM 0= 0z ,x,yetzétant 3 réels tels quexz= 1. 0 0 0 0 4. Réciproquement,vérier que tout endomorphismegdont la matrice dansBest du type ci-dessus est solution degg=f a .

Exercice 2 On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à 3 résultats di¤érentsR 1 ; R 2 etR 3 de probabilités respectives P 1 ; P 2 etP 3 a donc. OnP 1 +P 2 +P 3 = 1et on admet que, pour toutidef1;2;3g,0< P i <1. On e¤ectuenépreuves indépendantes du type de celle décrite ci-dessus. Pour toutidef1;2;3g, on noteX i la variable aléatoire qui vaut1si le résultat numéroinest pas obtenu à lissue desnépreuves et0sinon. On désigne parXla variable égale au nombre de résultats qui nont pas été obtenus à lissue desnépreuves. 1. (a)Justier soigneusement queX=X 1 +X 2 +X 3 : (b) Donnerla loi deX i , pour toutidef1;2;3g. (c) Endéduire lespérance deX, notéeE(X). La suite de cet exercice consiste à rechercher les valeurs des réelsP i en lesquellesE(X)admet un minimum 2n local. Pource faire, on notefla fonction dénie sur louvert]0;1[]0;1[deRpar :f(x; y) = (1x) + n n (1y) +(x+y). 2. (a)On poseP 1 =xetP 2 =yque. VérierE(X) =f(x; y). 2 (b) Montrerquefest une fonction de classeCsur]0;1[]0;1[. (c) Déterminerles dérivées partielles dordre1def. (d) Endéduire que le seul point en lesquelles les dérivées partielles dordre1de f sannulent simultanément   1 1 est le point;. 3 3 (e) Démontrerquefprésente un minimum local en ce point. (f) Donnerla valeur deE(X)correspondant à ce minimum.

Exercice 3 8 f(x) = 0six <0 < 2 x Soitfla fonction dénie par :  : f(x) =xe 2 six>0 1. Vérierque f est une densité de probabilité. La durée de vie dun certain composant électronique est une variable aléatoireXdont une densité estf. 2. (a)Déterminer la fonction de répartitionFdeX. 1 (b) Calculerla médiane deXcest-à-dire le réeltel quep(X6) =. 2 3. Onappelle mode de la variableXtout réel x en lequelfatteint son maximum.Montrer que X a un seul mode, notéM o , et le déterminer. 4. (a)En utilisant un résultat connu concernant la loi normale, établir que X a une espérance et montrer que p 2 E(X) =. 2 (b) Calculer,à laide dune intégration par parties, la variance deX.

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Problème Partie 1 n P 1 On pose, pour tout entiernsupérieur ou égal à1,v n =. k k=1 k+1 R 1dt  1. Montrerque :8k2N;6. k+ 1t k  2. Endéduire que :8n2N; v6ln(n) + 1. n

Partie 2 On considère une suite(u n )dénie par son premier termeu 0 = 1et par la relation suivante, valable pour tout 1 entier n :u n+1 =u n +. u n 1. (a)Montrer par récurrence que chaque terme de cette suite est parfaitement déni et strictement positif. (b) Endéduire le sens de variation de la suite(u n ). 2 22 2. (a)Pour tout entierk, exprimeruuen fonction deu. k+1k k n1 P 1 2 (b) Endéduire que :8n2N; u= 2n+ 1 +. n 2 u k=0 k 2 (c) Montrerque :8n2N; un+ 1. Endéduire la limite de la suite(u n >2 n ). 3. (a)A laide du résultat précédent, montrer que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 : 1 u n 62n+ 2 +v n1 . 2 (b) Enutilisant la partie 1., établir que, pour tout entiernsupérieur ou égal à 2 : 5 ln(n1) 2 u62n+ +. n 2 2 p (c) Endéduire nalement queu n 2nquandn!+1.

Partie 3 1. Ecrireun programme en Turbo Pascal permettant de calculer et da¢ cheru n lorsque lutilisateur entre la valeur denau clavier.

2. (a)Ecrire un deuxième programme, toujours en Turbo Pascal, qui permette de déterminer et da¢ cher le plus petit entier naturelnpour lequelu n >100. (b) Ondonneln2<0;70etln5<1;61. Endéduire un majorant deln 5000. (c) Montrerque lentierntrouvé en 2a) est compris entre4995et5000.

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