Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (ECE) Institut Supérieur de Gestion (ISG)

Description

Examen du Supérieur Institut Supérieur de Gestion (ISG). Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2002

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 70
• Langue: Français

Extrait

ISG 2002 Option économique

Exercice 1

1. Pourtout entier naturelnnon nul, on considère la fonctionf n dénie sur lintervalle]1;+1[par : n x7!f n (x) =xln(1 +x): (a) Etudierle sens de variation de la fonctionh n dénie sur lintervalle]1;+1[par : x x7!h n (x) =nln(1 +x) +: 1 +x Calculerh n (0);puis en déduire le signe deh n (x): 0 (b) Pourtoutxappartenant à]1;+1[montrer quef(x) =h 1 (x) 1 0n1 et que, pour tout entiernstrictement supérieur à1; f(x) =x h n (x): n (c) Onsupposenle tableau de variation de la fonctionimpair. Dresserf n ;en précisant ses limites en1 et en+1: (d) Onsupposenpair. Dresserde même le tableau de variation def n ;en précisant ses limites en1et en 1: 1 R n 2. Onconsidère la suite(u n ) n>1 dénie par:u n =xln(1 +x)dx: 0 ln 2 (a) Démontrerque, pour tout entier naturelnnon nul :06u n 6: n+ 1 (b) Endéduire que la suite(u n ) n>1 est convergente et déterminer sa limite. 2 x1 (c) Jusitiferque, pour toutxappartenant à[0;1];on a :=x1 +: 1 +x1 +x 1 2 R x Puis calculerdx: 1 +x 0 (d) Calculeru 1 au moyen dune intégration par parties. n P k (e) Pourtoutxde[0;1]et pour tout entiern>2;on pose :S n (x) =(x): k=0 n+1n+1 1 (1)x Montrer que:S(x) =: n 1 +x1 +x n 1 n+1 R 1 1(1)x n+1 Etablir légalité1+ +::+ =ln 2(1)dx: 2 3n1 ++ 1x 0 1 n+1 R x1 Montrer que: 06dx6: 1 +x n+ 2 0 n 1 1(1) En déduirelim (1+ +::+ ) n!+1 2 3n+ 1 3. (a)A laide dune intégration par parties démontrer que :   n+1n ln 2(1 (1) 11) u n =ln 2(1+ +::+ ) n+ 1n+ 12 3n+ 1

1/3

(b) Endéduire un équivalent simple deu n lorsquentend vers linni.

Exercice 2

On considère lensembleEdes matrices carrées dordre3déni par 0 1 a b b @ A E=fM(a; b) = b a b /a2R; b2Rg b b a

1. MontrerqueEest un sous-espace vectoriel de lespace vectoriel des matrices carrées dordre3: 0 10 1 1 0 00 1 1 @ A@ A 2. Justierque les matricesI = 01 0 etJ 0 1= 1 forment une base deE: 0 0 11 1 0

3. LamatriceM(1;1)est-elle inversible ?

2 20 020 0 (a) VérierqueJ= 2I+J;en déduire que, pour tout(a; b)2Ret tout(a ; b)2RM(a; b)M(a ; b) est un élément deE: (b) Endéduire que la matriceM(2;1)est inversible et que son inverse est un élément deE:

4. Déterminerles valeurs propres et les sous-espaces propres de la matriceJ:En déduire queJest diagonalisable. Ce résultat était-il prévisible ? Montrer que toute base de vecteurs propres deJest aussi une base de vecteurs propres de la matriceM(a; b)

Exercice 3

On considère la fonctionfqui à tout réelxassocie le réelf(x)tel que 8 < 0six <0 f(x 3 ) = : six>0 4 (1 +x)

1. (a)Etudier la continuité de la fonctionf: (b) Donnerle sens de variation def: (c) Montrerquefest une densité de probabilité.

2. OnnoteXla variable aléatoire réelle de densitéf:

(a) Déterminerla fonction de répartitionFde la variableX: (b) Calculerlespérance mathématique de la variable aléatoire1 +X;en déduire lespérance deX: 2 (c) CalculerlespéranceE((1 +X) ):En déduire la variance deX

3. OnnoteYla variable aléatoire à valeurs entières dénie par:Y= [X];[X]désignant la partie entière deX:

2/3

(a) Calculer,pour tout entier naturelk;la probabilitéP(Y=k): 0 1 7 2 n k+ 3k+ P B C 3 (b) Endéduirelim @ A : 3 3 (k(+ 1)k+ 2) n!+1 k=0

(c) Calculerla probabilitéP(Y61): (d) Calculerla probabilité conditionnelle:P(Y61=Y62):

3/3