Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (ECS) EDHEC Lille

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Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 79
• Langue: Français

Extrait

edhec 2002. Option scientifique.

EXERCICE 1 Z 1 1)a)1(Morenteuqrni’lge´telar−lnt) dtconverge et donner sa valeur. 0 Z x 1−lnt b)dMontrer quetconverge pour toutxstrictement positif. 2 2 +t  0 Z x  1−lnt ∀x >0, F(x) =dt 2 On pose alors : 2 +t 0  F(0) = 0 c)Montrer queFest continue en 0. 1 d)Montrer queFest de classeCsur ]0,+∞[ et donner ses variations (la limite deFen +∞ n’estpasdemand´ee). 2)tiusalti(efin´endOu n trremeeirap)emnn´eladoonpredesu 0 r1e=utree,ncednoce´reralital valable pour toutndeN:u n+1 =F(u n ). ´ a)Etablir que, pour toutndeN,u n ∈[0,1]. b)Montrer queu 0 ≥u 1 (rpraernri´neecrustvearrmcsedl´eenpo,disuaiitiuetlesau n ). c)Eirdu´endusaleuqe(etiu n ) est convergente. 3)Pour toutxde [0,1], on pose :g(x) =F(x)−x. 0 a)oMertn’uqrqieununusietlixelr´eeβde ]0,1] tel queg(β) = 0, puis donner les variations deg. b)lee´inunreuqnE´ddeiutenced’urel’exisαe]e´,eml´tdenβ,1] tel queg(α) = 0. 4)a)Montrer que :∀n∈N, u n ≥α. b)miEnuqleuired´edu n =α. n→+∞

EXERCICE 2 Dans cet exercice,xetyrtcietemtnopisitignentdesr´eelssse´d.sf Uncommerc¸antsefournitaupre`sd’ungrossistepourconstituersonstockaude´butdelasaison 2002,lequelconsisteenuncertainnombred’unit´esd’unproduitdeconsommation. Chaqueunit´evendueparcecommerc¸antluirapporteunb´en´eficenetdexeuros alors que chaque unite´invenduea`lafindelasaisonengendreunepertenettedeyeuros. Cecommerc¸antdoitconstituersonstockaud´ebutdelasaisonetde´sirede´terminerlataillende cestockafindemaximisersonespe´rancedegain. Onadmetquelenombred’unite´squiserontcommande´esa`cecommer¸cantpendantlasaison 2002estunevariableal´eatoirea`valeursdansN´teeno,X. On noteY n ouifitosifategn´elage´erp(niaguafinde`alalacemod)ceactnem¸rvariableal´eatoial saison 2002. Ond´esigneparU1sutvauieqirtoeaae´lailbvaraliX≤net qui vaut 0 siX > n. Onadmetquecesvariablessonttoutesde´finiessurlemeˆmeespaceprobabilise´(Ω,A, P). 1)En distinguant deux cas selon la valeur deUmontrer que : Y n = (xX−(n−X)y)U+nx(1−U) 2)a)refiileuqravalbaieV´erXUprend ses valeurs dans{0,1, . . . , n}. b)ecedrenase´pe,l’sommmedesforuos,remirpxEXUlolaa`eidail’dedeX. n X c)Montrer enfin queE(Y n ) = (x+y) (k−n)P(X=k) +nx. k=0 x Dans la suite, on suppose queP(X= 0)<. x+y

n X 3)a)ExprimerE(Y n+1 −E(Y n ) en fonction dex,yetP(X=k). k=0 b)Montrer qu’il existe un unique entier natureln 0 tel que : n 0 n 0 +1 X X x x P(X=k)<etP(X=k)≥ x+y x+y k=0k=0 c)e´psenosgedecnarcoenn,aiantutinstd´Enuiedqurececemoem¸ractnsetsˆurdemaximiser un stock de taillen 1 =n 0 + 1. 4)uee´etUnqremrffia’dtemrepsteenedc´´eprnssossiasredcuuotiaeuefastiqtatiudesXsuit la loidePoissondeparame`trea,o`uatnemisoprtsletciunsteer´eit.f a)ExprimerP(X=ken fonction de+ 1)P(X=k). b)lecutrereplttemdtnalaceammeenTurboPascarue´rcriuepnorrg´eerrcsepoatltsuilitU d’affichern 1 lorsque l’utilisateur entre au clavier les valeurs dex,yeta.

EXERCICE 3 Onconside`redeuxvariablesale´atoiresX 1 etX 2 dedensiceitevs´tseerpsf 1 etf 2 strictement positivesetd´erivablessurR. On suppose qu’il existe une fonctiongru,fie´deeni´etdvariesblR + , telle que : 2 22 ∀(x.y)∈R, f 1 (x)f 2 (y) =g(x+y) 1)On suppose, dans cette question seulement, queX 1 , etX 2 suivent toutes les deux la loi x 1 − ∗ 2 normaleN(0,1). Montrer que :∀x∈R + , g(x) =e . 2π 0 02 2 f(x) 2g(x+y) ∗ 1 2)a)Montrer que :∀x∈R,∀y∈R,= 2 2 xf 1 (x)g(x+y) 0 f(x) ∗ 1 b)On notehond´nctilafoserufieinRparh(x.) = xf 1 (x) Soientx 1 , etx 2 uxqueedontnlsnuon.Mertree´ridslnitsestch(x 1 ) =h(x 2 end´eduire)te ∗ quehest une fonction constante surR. On noteacette constante. 2 ax − c)Soitknctilafoe´rtleouepourtd´onniefixpark(x) =f 1 (x. Montrer que )e 2 kest ∗ ∗ constante surR + ainsi que surR. − Ende´duirequekest constante surRtlniexresqrio’mun,u´urpsieteelKtel que : 2 ax 2 ∀x∈R, f 1 (x) =Ke d)Utiliser le fait quef 1 etsnudeneis´tdeeprobabilit´epounomrrerteuqaest strictement r −1 n´egatif.Onposedor´enavantσ 1 = . a e)nEequreuiedd´X 1 suit la loi normaleN(0, σ 1 ). 3)lnadmetquOmtnortreleo’pnuea¸efnqcoladeemmˆnuetee´rli’usixeσ 2 strictement positif tel queX 2 suive la loi normaleN(0, σ 2 ). Montrer,enrevenanta`lade´finitiondeget en calculantgfa¸cons,que()1ededxuσ 1 =σ 2 , c’est-a`-direqueX 1 etX 2 ottnevius.amelniroemolamˆeeuxllesdutes

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` PROBLEME

Danstoutleproble`me,nntieeunesignd´eer´eaegiruusu´opr.ule`nlr2taa n On noteIdl’application identique deR.

n PartieI:´etudedessyme´triesdeR. n SoientF 1 etF 2 deux sous-espaces vectoriels deRtlue,uenrvectseultsauedui,nr´on n supple´mentaires,c’est-a`-diretelsqueR=F 1 ⊕F 2 . n Onappellesym´etrieparrapport`aF 1 nemea`talarell`pF 2 , l’endomorphismesdeRurponiefi´d n toutxdeRtel quex=x 1 +x 2 ( avecx 1 ∈F 1 etx 2 ∈F 2 ) pars(x) =x 1 −x 2 . Danslestroispremi`eresquestions,onconsid`ereunetellesyme´trienot´ees. 1)a)Montrer que :∀x∈F 1 , s(x) =x. b)r(eueKriqee´udEdns−Id) =F 1 . 2)a)Montrer que :∀x∈F 2 , s(x) =−x. b)End´edre(iueruqKes+Id) =F 2 . 3)queremruortnonedepsetnspr´ec´squestiolisireeltUsest diagonalisable et donner une forme n possible de la matrice desbaneaut`enemivatsleedreRdeveceetrupsorrpdeesconstitu´e s. 4)etm´synee.rialameetsdeu’rtcietelu’untriclemameuq,tnetnomqrerecR´roip

PartieII:e´tudededeuxexemples.

3 3 1)Soitsl’endomorphisme deRdont la matrice dans la base canonique deRest :   –1 2 2 1   M= 22 –1 3 2 –12 a)lrseimentere´Desderoprurspvalesssoci´es.inaqusieselussopse-secaporpaser b)End´eudriqeeuestsnuseietr´eym. n 2)Soitsun endomorphisme deRtel ques◦s=Id. n a)Montrer que, pour toutxdeR:x+s(x)∈Ker(s−Id) etx−s(x)∈Ker(s+Id). b)ereKqureuiedd´En(s−Id) et Ker(s+Idpl´ement)sontsuperia.s ´ c)Etablir enfin ques(ra`eKiepa´etrportrraptlesymass−Idralap)enemell`(eraKt`s+Id). PartieIII:sym´etriesorthogonales. n Onconside`rel’espacevectorielR, muni de sa structure euclidienne usuelle dans lequel le produit scalairecanoniqueestnot´eh,i. n Pour tout sous-espace vectorielFdeRtdlenuurntre´eiffedn,no´reulvecteeduitausE, on ⊥ appellesym´etrieorthogonaleparrapporta`Fm´syrietarepppra`troaalFment`aapllarele`F. 1)Dans cette question, on suppose quen= 3. Montrer que la matriceM,pr´esent´eedanlsa premie`requestiondeladeuxie`mepartie,estlamatriced’unesym´etrieorthogonale. n 2)ere`senuocnOdisn´eymietrsdeR:etnaviusectoees’de´atsnpeoropquivalenblirl’´e sutsehorteorietm´synelumeteeselisoganientssest un endomorphisme sym´etrique. n a)On suppose quesdemsihmyserte´euqieunstdoenrpmoR. V´erifierque:∀x∈Ker(s−Id),∀y∈Ker(s+Id),hx, yi= 0, puis, conclure quesest la syme´trieorthogonaleparrapporta`Ker(s−Id). n b)SoitFun sous-espace vectoriel deRuitar´ed,nondentre´eifftdelunruetcevluesuE. Onprendmaintenantl’hypoth`ese:sm´etlasyrthorieoelapoganoptrrrpa`atseF. 3