Exercice 1 Partie A : Soit la fonctionfuotrd´tniefiouepx´rplee:ra 2−x f(x) = (x+ 1)e . Ond´esignepar(C)sacourberepr´esentativedansunrepe`reduplan. 1 On donne= 0,37. e 1. (a) Etudierles limites defen (−∞) et (+∞). (b) Etudierles branches infinies defeslluentve´eesottpmysaselresice´;pr. 2. (a) Etudierle sens de variation def. (b) Dresserle tableau de variation def. 3. (a)D´eterminerune´equationdelatangente(T(a)`C) au point d’abscisse 1. (b) Construire(C) et (T). (n) 4.Onde´signeparfedem-i`e´eenerivlad´f. (0) (n+1) (n)0 On posef=fet pour tout n entierf= (f) . Enutilisantunraisonnementparr´ecurrence,d´emontrerqu’ilexistetroissuites(an), (bn) et (cn) telles que (n) 2−x f(x) = (anx+bnx+cn)e Onpr´eciseraa0, b0, c0et on exprimeraan+1, bn+1, cn+1en fonction dean, bn, cn.
(a) MontrerqueAest inversible. −1 (b)Enutilisantlam´ethodedupivotdeGauss,calculerl’inverseAdeA. 3. (a)Enutilisantunraisonnementparr´ecurrence,montrerquepourtoutentiernatureln, on a : n(n−1) n2 A=I+nB+B . 2 n (b) Expliciterles neufs termes deA. an 4. Pourtout entiern, on poseXn=bn cn (an),(bn) et (cnestroiss)sontlasleinfinadsetiue´dspartie Aquestion 4. (a)Ve´rifierquepourtoutnpositif,Xn+1=−A.Xn. n n (b)Enraisonnantparre´currence,´etablirquepourtoutentiernon a :Xn= (−1)A .X0. (c) Donneralors les valeurs dean, bn, cnen fonction den.
Exercice 2 Onconsid`eredeuxpi`ecesdemonnaietruqu´eesM1etM2. 1 Lorsqu’onlancelapi`eceM1friova’de´tiliba`alega´esteeacnaeco’lnsruqteol,laprob`ecelapiM2, la 3 2 probabilit´ed’avoirfaceest´egale`a. 9 Oneffectueunesuccessiondepartiesdelafa¸consuivante: –Alapremi`erepartie,onprendunedesdeuxpi`ecesauhasardetonlancecettepi`ece; silere´sultatestface,onjoueladeuxi`emepartieavecM1, sinon on joue avecM2. ie`me i`eme – Pourtout entiern>1, on joue la (n+ 1)partie avecM1lace`aanoisafunetbonpartie ; ie`me i`eme on joue la (npartie avec+ 1)M2`alaoisboanunetelipnpartie. i`eme On noteUnlpaorabafriova’de´tilibla`acenpartie. 1.Enutilisantlaformuledesprobabilite´stotales: (a) Calculerles valeurs deU1etU2. 1 2 (b) Etablirque pour toutn>1 :Un+1=Un+. 9 9 2. CalculerUnen fonction den. ie`me 3. Pourtout entiern>1 on noteXnersataiolae´baelvarilaaale`´ecisonpartie qui prend la valeur i`eme 1siler´esultatdelanpartie est face et 0 sinon. (a)De´terminerlesloisdeprobabilit´edesvariablesale´atoiresX1etX2atncerescerrslleuepc´ueasl math´ematiques. (b)Lesvariablesal´eatoiresX1etX2enepd´inesll-entrefiitsuj(?setnadse).eponlar´os