Mathématiques 2002 Classe Prepa HEC (STG) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2002 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2002

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 107
• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banqued’´epreuvescommunes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esmarseille /ic nancy/ esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS D’ADMISSION

option technologique ´ MATHEMATIQUES Anne´e2002

Aucuninstrumentdecalculn’estautoris´e. Aucundocumentn’estautoris´e.

L’e´nonce´comporte4pages

Lescandidatssontinvit´es`asoignerlapre´sentationdeleurcopie,a`mettreene´videncelesprincipaux r´esultats,a`respecterlesnotationsdel’e´nonce´,et`adonnerdesde´monstrationscompl`etes(maisbre`ves) de leurs affirmations.

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Tournez la page S.V.P

Exercice 1 √ 2 Onconsid`erelafonctionfd´efinieparf(x) =x−xonnote1+r´eperrbouacClteevedseneatitfdans un rep`ereorthonormal. ( 1 u 0 = Onde´finitlasuite(u n ) par: 2 u n+1 =f(u n ) sin>0

Etude de la fonction f 2 1.EtudierlesignedutrinoˆmeP(x)dfin´eurisRpar :P(x) =x−x+ 1 End´eduirequefnfieiusrestd´eR 2. Etudierftionariaudevbleanoatessrrdseupsis,neorxbauesitimlselresice´rp,russR. 3. ComportementdeCau voisinage de +∞ (a) Montrerque ,pour toutxstrictement positif: 1 −1 x f(x)−x= r 1 1 1−1+ + 2 x x (b)End´eduirelavaleurdelim(f(x)−xains)itnoqeaunu´eqi’u`atetompsy)a(Δde(C) en +∞. x→+∞ 4.Re´soudrel’´equationf(x) =x 1 0 5. Majorationde la valeur absolue defsur l’intervalle [; 1] 2 0 (a) Exprimerf(x) en fonction dexet def(x) r 1 3 (b) Montrerque∀x∈1][ ;, f(x)> 2 4 1 1 0 (c)Ende´duireque∀x∈[ ;1],|f(x)|6 √ 2 3 Convergence de la suite(u n ) 1 1.Montrerparre´currenceque:∀n∈N,u n ∈[ ;1] 2 2.Montrerparre´currenceque:∀n∈N,u n 6u n+1 3. (a) Justifierque la suite (u n e.itimalrpteetnesresice´)estconverg 1 n (b)Montrerparre´currenceque:∀n∈N,|u n −1|6( √ )|u 0 −1| 3 Exercice 2 Onconsid`erelesmatricessuivantes:   1 1   0    0 00 4 2 −2 01−1 0 1 1   0 10    M 0 = 1, P1= 1−2, D=   , Q= 33 3   2 3   1 10 2 1 1 0 1 0 0 0 4 4 2

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Calcul des puissances de M n 1.De´terminerl’expressiondeD, pour tout entier naturelnnon nul. −1 2. CalculerP QeruqdeiunE´de.Pest inversible et exprimerP, sous forme d’un tableau de nombres. −1 3. Calculerle produitPP M ×n n−1 4.Montrerparre´currenceque:∀n∈N, M=PP D. n 5. EcrireMseut`onuer,sonbmaudeable’untrmedsuosofal.lunnnoeluratrnientne

Suitesde´finiesparunerelationder´ecurrence  u n + 2w n  u n+1 =   u 0 = 0  4 u n + 2v n Onconside`relessuites(u n ), (v n ) et (w n fiein)´d:rseapv 0 = 0.et∀n∈N, v n+1 =  4 w 0 = 1 u+ 2w n  n  w n+1 = 4   u n   Pour tout entier natureln,on note:X n =v n w n 1. ExprimerX n+1 en fonction deMet deX n 2. n (a)End´eduirel’expressiondeX n en fonction deMet deX 0 pour tout entierns,pue´irueor´uegal`a1. (b)Al’aidedesre´sultatsobtenusen5,de´termineralorsl’expressiondeu n ,v n etw n en fonction den. (c)De´terminerleslimitesdessuites(u n ), (v n ) et (w n ).

Exercice 3 Uncommer¸cantdisposed’unstockdeplantes.Chacunedesplantesfleuritunefoisparan. 3 Pourchaqueplante,lapremie`reanne´e,laprobabilit´ededonnerunefleurrosevaut,laprobabilit´ededonner 4 1 une fleur blanche vaut. 4 Puislesanne´essuivantes,pourtoutentiernaturelnnonnul: –sil’anne´enlorsl’anurrose,a´nee,pllaue´neflenetnanodan+ 1elle donnera une fleur rose. –sil’ann´eenno´netdaeflruueenche,blansellalornodearenna’lee´nanpllanrpbobaelnue1d+a¸efn´couieq fleur rose ou une fleur blanche.

Etude d’une suite  nreitutannlerunnoPol.unurlaepednteeo,no´nenntod´esigneunenp n ne´ve´’l,tnemeobablapr´edeilitR n la plantedonneunefleurroselani`emeann´ee  1.Al’aidedelaformuledesprobabilite´stotales,montrerquelasuite(p n ) n>1 ti´ehmitarteuiestsnueoc ge´ome´triquequiv´erifie: 1 1 p n+1 =p n + 2 2 2.End´eduirel’expressiondep n en fonction denet dep 1 . 3. Quevautp 1 edd´En?reuip n lim, ainsi que la valeur dep n n→+∞ 4. (a)Quelleestlaprobabilite´pourquelaplantenedonnequedesfleursrosespendantlesnre`emireps anne´es? (b)Quelleestlaprobabilit´epourquelaplantenedonnequedesfleursblanchespendantlesnpsere`imer ann´ees?

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Etuded’unevariableale´atoire. Unclientvientd’acheterunecommandede10000planteschoisiesauhasarddanslestock.Ond´esigneparXla variableale´atoire´egaleaunombredeplantesparmiles10000achet´eesquidonnentlapremi`ereann´eeunefleur rose. 1.ReconnaıˆtrelaloideX, donner la valeur deE(X) et deV(X). On noteσ´el’rtcapetyed.X √ V´erifierquel’onaσ3= 25 2. Parquelle loi normale peut-on approcher la loi deX? 3.Sanstenircomptedelacorrectiondecontinuite´,utilisercetteapproximationpourdonnerunevaleurap- proch´eedeP(74506X67550) . 2 On donne Φ( √ )≈0,notcoidnree´aptritiondelaloinorm78`u,o´eΦdgnsiafelrtnecelaude´ree´e.it 3

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