Mathématiques 2003 Concours GEIPI

Fft

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Concours du Supérieur Concours GEIPI. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

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• Publié le: 09 mars 2008
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Le sujet comporte 13 pages numérotées de 1/13 à 13/13

 EXERCICE I  (9 points) 

Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus ci-dessous  Un constructeur automobile achète des pneus à trois fournisseurs dans les proportions suivantes :

20%au premier fournisseur,05%au second fournisseur,30%au troisième fournisseur.

Le premier fournisseur fabrique%09pneus sans défaut, le second fournisseur fabrique de 59% de pneus

sans défaut, le troisième fournisseur fabrique80%de pneus sans défaut. On noteF 1 l'événement "le pneu provient du premier fournisseur",F 2 l'événement "le pneu provient du second fournisseur" etF 3 l'événement "le pneu provient du troisième fournisseur".  1-On choisit un pneu au hasard dans la livraison. On noteS l'événement "le pneu est sans défaut".  a-Calculer la probabilitéP(S) que le pneu soit sans défaut. b-Le pneu choisi étant sans défaut, quelle est la probabilitéP S ( F 1 ) provienne du premier qu'il  fournisseur ? Donner la valeur exacte et une valeur approchée à10 − 3près, deP S ( F 1 ).  2-que la probabilité qu'un pneu monté soit sans défaut est de On suppose 0,895.  Calculer la probabilitéR,que sur un lot de12pneus montés,un pneu au plussoit défectueux.  On donnera une valeur approchée à10 − 3près deR.  3-vie en km dun pneu est une variable aléatoireLa durée de T : paramètrequi suit une loi exponentielle de 1 − λ = =2×10 5 .  50000 x [ 0 ; + ∞ [ , on a : T≤x= λ e λ dt .  Selon cette loi, pour toutde P ∫ 0 x −t

 a-Quelle est la probabilitéP 1 qu'un pneu dure moins de50 000 km? Donner la valeur exacte deP 1 . b-Quelle est la probabilitéP 2 qu'un pneu dure plus de50 000 km? Donner la valeur exacte deP 2 . c-Quelle est la probabilitéP 3 qu'un pneu dure plus de50 000 km, sachant qu'il a déjà duré25000 km?  Donner la valeur exacte deP 3 .

I-1-a-

I-1-b-



I-2-

I-3-a-

I-3-b-

I-3-c-



P(S)= , 95 0 8

 REPONSES A LEXERCICE I

l cte de 36 va eur exaP S ( F 1 ): 179  valeur approchée deP S ( F 1 ): 0,201 valeur approchée deR: 0,636

P 1 = 1− e 1 

P 2 = 1 e 

1 P 3 = e =

CONCOURS G.E.I.P.I. 2003 MATHEMATIQUES

1 − e 2 



1/13 



EXERCICE II  (11 points)

Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus à la page 3

  A - Préliminaires: 

On considère deux points quelconquesMetNdu plan .

1- Déterminer la norme → u  vecteu, du → 1 → . ru=MN M

2- SoitQun point du segment [ MN ] et soit le vecteur : → w= Q 1 M  QM → + Q 1 N  QN → . 



Justifier que le vecteur → west nul.

 B -  On considère un triangleABCdu plan dont les trois angles sont aigus.

On note de la façon suivante les mesures des angles géométriques de ce triangle : BAC,ABC=etACB= . =

A

C  On désigne parA 1  pied de la hauteur du triangle, leABC, issue de

.

B



 1- a- Exprimertanettandes côtés de triangles judicieux de la figure, en fonction des longueurs 



donnée.

b-Montrer queA 1 est barycentre du système ( B , tanβ ) ; (  tanC ,γ ) .

2 que le barycentre- Justifier

 triangleABC.

du système ( A , tanα ) ; ( B , tanβ ) ; ( C , tanγ ) est l'orthocentre du

 3- SoitA,BetC les milieux des côtés respectifs [ BC ] , [ AC ] et [ AB ] .











a que les médiatrices du triangle- MontrerABC sont les hauteurs du triangleABC.

b-En déduire que le centreOdu cercle circonscrit au triangleABCest barycentre des points A BetCaffectés de coefficientsa,betcque l'on précisera.,

c-En déduire que le centreOdu cercle circonscrit au triangleABCest barycentre des points A,BetC affectés de coefficientsa,b etcque l'on précisera.

CONCOURS G.E.I.P.I. 2003 MATHEMATIQUES



2/13 

II-A-1-

II-A-2 -

→ u

1 = MN

→ MN

Justification de : w → =0 → 

REPONSES A LEXERCICE II

=1 

→→ Comme  Q ∈ [MN] les vecteurs QM  et QN  colinéaires et nont pas le même sens. sont 

Les vecteurs Q 1 M Q  M →  et Q 1 N  QN → sont unitaires daprès la questionII-A-1-. De plus, ils sont colinéaires et de sens opposés. Leur somme est donc nulle.

II-B-1-a-

AA tan= 1  A 1 B

II-B-1-b-Justification de :

AA 1 tan= A 1 C

A 1  barycentre du système ( B , tanβ ) ; ( C , tanγ )

A ∈ BC 1 →→→ 1 [ ] donc daprèsI-A-2-, on a : 1 1  A 1 A B B + A 1 A C 1 C=O



→→→ En multipliant les deux membres de cette égalité parAA 1  on obtient : tanβ. A 1 B + tanγ. A 1 C=O  doncA 1  estabertnecyrde  (  tanB ,β ) ; ( C , tanγ ) 

II-B-2-Justification de :Horthocentre deABC H barycentre de  (  tanA ,α ) ; ( B , tanβ ) ; ( C , tanγ )  donc par associativité des barycentres, H  deest barycentre (  tanA ,α ) , ( A 1 , tanβ +tanγ )  donc H  appartient à la droite (AA 1 ) , hauteur de ABC .

BB Soit B 1 le pied de la hauteur de ABC issue de B . On a : tanα = B B 1 A B 1  et tanγ = B 1 C 1

Comme B 1 ∈ [ AC ] , alors daprèsI-A-2-; B 1 A B  1 → A + B 1 C B  1 C → =  O →  1 1

→→→ En multipliant par BB 1  cette égalité, on obtient : tanαB 1 A + tanγB 1 C=O  donc B 1 est barycentre de  (  tanA , ) ; ( C , tanγ )  α

Ainsi par associativité des barycentres, le barycentre H de ( A , tanα ) ; ( B , tanβ ) ; ( C , tanγ ) est aussi le barycentre de  (  tanB ,β ) , ( B 1 , tanα +tanγ ) 

donc H appartient à la hauteur ( BB 1 ) de ABC . Ainsi H est lorthocentre de ABC . II-B-3-a- médiatrices de lesJustification de :ABC sont les hauteurs deABC Soit ∆ 1  la médiatrice de [ BC ] alors ∆ 1 passe par A et ∆ 1 ⊥ ( BC ) . Oret C' sont les milieux de [ AC ]  et de [ BA ]  donc (  )B' C'  est parallèle à ( BC ) . Ainsi ∆ 1 ⊥ (  )B' C'  doù 1 est la hauteur issue de A du triangle A' B' C' . Même raisonnement pour montrer que les deux autres médiatrices de ABC sont hauteurs de A B' C' . ' II-B-3-b-a'= tan b' = tan c'= tan  II-B-3-c-a= tan+tan b = tan+tan c = tan+tan 

CONCOURS G.E.I.P.I. 2003 MATHEMATIQUES

 

3/13 







EXERCICE III  ( 9 points )  Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus à la page 5    La réussite de certaines recettes de cuisine réside en un chauffage doux et homogène, que lon réalise par

lintermédiaire dun bain-marie.



On considère une préparation (un ramequin par exemple, de taille suffisamment petite pour quon puisse y considérer la température comme uniforme) dontla température initiale est 20 °C. On la met dans uneiriabam-ndire dans un récipient contenant de l', c'est à eau maintenue à

température constante de 80 C. °



La températureT(t)de cette préparation en fonction du temps suit la loi de Newton, décrite par léquation différentielle suivante : (E):T ( t ) =  K ( T(t)  80 )  (Kest un réel, fixé, strictement positif) Lunité de temps est laminute!

  1- Sans résoudre léquation(E)sens de variation de la fonction, donner le T. Justifier votre   2- a-Donner, en fonction deK générale des solutions de léquation, lexpression(E).

réponse.

b-En utilisant la donnée initiale,déterminer, en fonction deK et du tempst température, laT(t)  du ramequin.   3 plongeant un thermomètre culinaire dans la préparation, on constate quau bout de- En10 minutesla

 température est de42,2 °C.

En déduire la valeur exacte deKet justifier votre résultat.  Donner une valeur approchée deKà10 −4  près.

 4- choisissant cette valeur approchée pour EnK, déduire lexpression de la températureT(t)du

 ramequin à l'instantt . 



→ → 5- Dans un repère orthonormé (  jO, i , )  considère la courbe, onC T   représentative de la fonction Tdéfinie à la questionIII -4. -  Justifier queC T  admet une asymptote∆quandttend vers+ ∞et donner une équation de∆.

  6-préparation est cuite à point lorsque la température atteint La 65 °C.







     

Pendant quelle duréedla cuisson après que lon ait relevé la doit-on encore prolonger

température de42,2 °C.Justifier votre résultat.

CONCOURS G.E.I.P.I. 2003 MATHEMATIQUES





4/13 

0

5/13























III-3-













 





REPONSES A LEXERCICE III







III-4-

III-5-













III-6 -







III-2-a-



≥

Justification :



,

Pour touttpositif a : on 20≤T(t)≤80  donc

soit

t

0

quelque

−80

≤







(t−10) minutes

=

⇔ 

t= ln(0,25) =30, 0.....  et d  −0,0462

⇔ 

e −0,0462 t = 65 − −0 0 8 =0,25  6

Justification :

T(t)=65 ⇔



−60e −0,0462 t + 80=65

III-2-b-

III-1-

Sens de variation deT:Test croissante

⇔ 

e −10K = 42, − 2 6 −80 0 =0, 63

−60 e −10K + 80=42,2 

T (10)=42,2 ⇔

⇔ 

Valeur approchée de: ≈ 0,0462

− T(t) − e t = 60 0, 0462 + 80



CONCOURS G.E.I.P.I. 2003 MATHEMATIQUES

 



ln(0, 63) −10

=

−10K=ln(0, 63) ⇔ K



ln ( 0, 63 ) =  −10

T C (t)=C e − Kt +80  avec

T(t) = −60 e −Kt +80 

Les solutions de(E)sont de la forme :

 un réel quelconque

T(t)

Comme alors −K ( T(t)−80 ) ≥0  ainsi T(t) ≥ 0 K>0 '

Justification :

Equation de ∆ : y=80

d= 20 minutes

lim T (t)=80  car lim e −0, 0462 t→ + ∞ t→ + ∞

=0 



K Valeur exacte de:

Justification :



 

EXERCICE IV(9 points)

Donner les réponses à cet exercice dans les cadres prévus à la page 7

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormé(O, → u , → v ).

Dans tout cet exercice, on désigne par z  le complexe conjugué de , par

et pararg zun argument dez(défini à2 kπprès oùk∈Z).

zle module du complexez

SoitF la fonction qui, à tout pointM du plan, daffixez non nulle, associe le pointM ' daffixedéfinie

par :z'= − 1 . z

1- a-etéDrenimrz'en fonction dez. 





b- en fonction dun argumentDéterminer un argument dearg zdez.  Que peut-on en déduire pour les pointsO,MetM '?

 2 -On considère le cercleΓde centreOet de rayon1. SoitM daffixeun point dez.   a-imentéreDrz'.   b-Quelle est limage du cercleΓpar la fonctionF?   3 - On appelleA etBles points daffixes respectives1 et 1 etC le cercle de centreA le, contenant

 pointO. SoitM un point du plan daffixez.   a-Quelle relation doit vérifierz,pour queMappartienne àC?   b-On suppose queM est un point du cercleC, différent deO. ' Calculer alors z+1 . On justifiera le résultat. z' Comparer alors les longueurs BM 'etOM '. En déduire queM 'appartient à une droite fixe D  précisera., quon   c-Construire sur la figure, les imagesM' 1 etM 2 '  des points M 1  etM 2 . 

  

B

−1

1 − 2

O

M 2

A

1

M 1

d-Quelle est limage du cercleC privé deO la fonction, parF?

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

C



6/13 

 REPONSES A LEXERCICE IV

CONCOURS G.E.I.P.I. 2003 MATHEMATIQUES



=

1−z

1

z

IV-3-d-

 

=1 

Limage deC privé deO parF estla droite D. 

1

1 + z'

Justification :

z'+1 z'

−

=

=

1−z

Γ parF cercleest le

 lui-même.

M∈C seulement si si et z−1=

1 

IV-3-b-



=

z'+1 1 = z'

IV-2-a-

IV-1-b-arg z'= arg z + (2 )  Déduction pourO,MetM: O , M ' et M  sont alignés  et O  appartient au segment [ M

Comparaison deBM etOM': BM '=OM

z'= 1

IV-2-b-

 '

IV-3-a-

Limage de

. D est la médiatrice du segment

1 D est la droite déquation x= − 2

IV-1 a - -

z'

= 

1 z



M' ]







IV-3-c-



.

]

[ OB





M

A

O

1 − 2 M' 1

−1

M' 2

B

1

C

1

M



7/13







2

EXERCICE V(22 points)

 Donner les réponses aux questions de la partie A et aux questions 1 et 2 de la partie B dans les cadres prévus à la page 9 

 PARTIE A

 −x− 1 Soit la fonction d ar . féfinie sur ] _ ∞; 1 [ U ] 1;+ ∞ [  pf (x) = e 1−x

On note C f sa courbe représentative dans un repère orthonormé ( O, i → , → j ) .

1 -







2 -



 

a- Déterminerf ' (x) et donner le tableau de variation defen précisant les limites aux bornes de

 lensemble de définition def.  Donner, dans ce tableau, la valeur def ( _  1)données dans le tableau seront exactes.. Les valeurs b-Donner les équations des droites asymptotes de la courbe C f .

Soita un réel distinct de1 etMle point de la courbe C f dabscissea.

Déterminer, en fonction dea équation de la tangente, uneT M à la courbe C f , au pointM.

PARTIE B  On considère lintégrale suivante : J= ∫ −1 0  dtf (t) . Lobjet de cette partie est dencadrer lintégraleJet non den calculer la valeur exacte.   1- à la question vu le tableau de variation de UtiliserV - A - 1 - a - pour justifier que lon a : 1 ≤ J ≤ 1  e2 .

 2- pose, pour t On ∫ 0 out entier natureln:u n =t n e − t − 1 dt. −1 a- Calculer u 0 . b- Etablir une relation de récurrence entre u n + 1  et u n  laide dune intégration par parties, à t =  dans u n + 1  où lon posera : g (t)=t n+ 1  et eh' ( ) − − 1 .  On donnera le détail des calculs. c- Calculer alors successivement u 1 , u 2 , u 3 , u 4  et u 5   sous la forme : u i =p i + q i e −1   où p i et q i entiers relatifs que lon précisera, pour chaque sont deux u i , dans le tableau  prévu à cet effet. (On utilisera le résultat de la questionV - B - 2 - a - pour u 0 ).          

CONCOURS G.E.I.P.I. 2003 MATHEMATIQUES



8/13 

V-B-1- de Justification 1 e ≤ J ≤ 1 2  le tableau de variation de: Daprèsfvu en V-A-1-a-,



V-B-2-a-

V-B-2-b-

≤

t ≤ 2 1 [ ] − 0 1  et e 1 ≤ J



on a pour tout de [ − 1 ; 0 ] : 1 e ≤ f (t) ≤ 2 1 

1 2

e −1





V-A-1-b- asymptotes de Les C f ont pour équation : x1 et y

− − − de T M : ae a 1  a  e ( ) 1 y = x − + V-A-2- Equation (1a) 2 a 1 − a  −



=0

+

+ 

∞ 

1



p n  = p 0 1 p 1 = 0  p 2 = 1  p 3 =2 p = 9 4  = p 5 44 



     _ ∞ 



     

½

f

0



+

1

u n  u 0 = 1−e −1  = u 1 −e −1  − e u 2 = 1 2 −1  − e u 3 = 2 6 −1 

u 4 = 9 − 24 e −1  u 5 = 44 − 120 e −1 

CONCOURS G.E.I.P.I. 2003 MATHEMATIQUES

h' (t)=e − − 1 h (t) = −e −t− 1   doù u n+ 1  −   = t n+ 1 e −t− 1    −1 0 + ∫ −1 0 ( n + 1 ) t n e −t− 1 + 1 = ( −1 ) + 1 +( +1 donc u n n n ) u n 

V-B-2-c-

0 1 2 3 4

5

 

   

n



g' (t) ( n + 1 ) t n 









dt 



0 ∫ 1 −1 2

t ≤ dt  ainsi e 1 [ ] 0 1 −





u 0 =  1−e −1  g (t)=t n+ 1 

donc ∫ 0 1 1 dt e ≤J≤ −







∞

f ' (x)

_

+   

(x)



∞

V-A-1-a-

 

0

0



x

 

−x−1 x e f ' (x) = (1x) 2  −





9/13

q n  q 0 = − 1  q = − 1 1  q 2 = − 2  q 3 = − 6 q 4 = − 24 q 5 = − 120







REPONSES A LEXERCICE V  PARTIE A  PARTIE B



J