Ouvrir le menu
Publier un document
Alternate Text
clear
fr
Ouvrir le menu
Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC
3 pages
Français

Mathématiques 2004 Classe Prepa HEC (S) Concours ESC

Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement
3 pages
Français
Cet ouvrage peut être téléchargé gratuitement

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2004. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2004 sur Bankexam.fr.

Sujets

Mathématiques
2004

Informations

Publié par
Publié le 18 mars 2007
Nombre de lectures 130
Langue Français

Extrait

EXERCICE 1
On munit
)
(
1
,
3
R
I
du produit scalaire canonique. On donne les matrices suivantes :
-
-
-
-
-
=
1
4
2
4
1
2
2
2
2
A
-
-
-
=
4
2
0
0
1
1
2
0
1
B
=
1
2
2
1
V
-
=
2
1
2
2
V
O
désigne la matrice colonne nulle d'ordre 3.
I
désigne la matrice identité ( matrice unité ) d'ordre 3.
Lorsque
λ
est une valeur propre d'une matrice carrée
C
, on notera
)
(
λ
C
E
le sous-espace propre associé.
Soit l'application
φ
de
)
(
3
R
I
définie pour toute matrice
M
de
)
(
3
R
I
par
MA
BM
M
-
=
φ
)
(
.
1.
(a)
Montrer que les valeurs propres de
A
sont
-3
et
6. Déterminer
)
3
(
-
A
E
et
)
6
(
A
E
.
(b)
Montrer que
0
est valeur propre de
B
et déterminer
)
0
(
B
E
. Montrer que
)
3
(
)
0
(
-
⊂
A
B
E
E
.
(c)
Montrer que
3
est valeur propre de
B
et déterminer
)
3
(
B
E
. Montrer que
)
3
(
)
3
(
-
⊂
A
B
E
E
.
(d)
Montrer que
(
)
2
1
,
V
V
est une base orthogonale de
)
3
(
-
A
E
formée de vecteurs propres de
B
.
En déduire une matrice colonne d'ordre
3
notée
3
V
et de première coordonnée égale à
1
telle que
(
)
3
2
1
,
,
V
V
V
soit une base orthogonale de
)
(
1
,
3
R
I
formée de vecteurs propres de
A
.
(e)
Exprimer
3
BV
en fonction de
2
V
et
3
V
.
En déduire que la matrice
B
est semblable à la matrice
3
0
0
3
3
0
0
0
0
.
2.
(a)
Montrer que
φ
est un endomorphisme de
)
(
3
R
I
.
(b)
Soit
H
une matrice carrée d'ordre 3
élément de
Ker (
φ
).
Montrer que
O
HV
I
B
=
+
1
)
3
(
,
O
HV
I
B
=
+
2
)
3
(
et
O
HV
I
B
=
-
3
)
6
(
.
En déduire
O
HV
=
1
,
O
HV
=
2
et
O
HV
=
3
et que
φ
est un isomorphisme de
)
(
3
R
I
.
3. Soient
a
et
b
deux valeurs propres respectives de
A
et de
B
.
Soit
X
un vecteur propre de
A
associé à
a
et
Y
un vecteur propre de
B
associé à
b
.
Montrer que
X
Y
t
est non nulle et calculer
)
(
X
Y
t
φ
. En déduire que
b
-
a
est valeur propre de
φ
.
4. Soit
λ
une valeur propre de
φ
. Soit
M
une matrice carrée vecteur propre de
φ
associée à la valeur propre
λ
.
(a)
Montrer que :
O
MV
I
B
=
-
λ
-
1
)
)
3
(
(
,
O
MV
I
B
=
-
λ
-
2
)
)
3
(
(
et
O
MV
I
B
=
+
λ
-
3
)
)
6
(
(
.
(b)
Montrer que :
si
O
MV
≠
1
alors
3
-
λ
est valeur propre de
B
.
si
O
MV
≠
2
alors
3
-
λ
est valeur propre de
B
.
si
O
MV
≠
3
alors
6
+
λ
est valeur propre de
B
.
(c)
En remarquant que
O
M
≠
, montrer que
3
2
1
,
,
MV
MV
MV
ne peuvent pas être tous nuls.
En déduire que
λ
est la différence d'une valeur propre de
B
et d'une v
aleur propre de
A
.
Donner finalement l'ensemble des valeurs propres de
φ
.
EXERCICE 2
Lorsque
A
et
B
sont deux événements d'un même espace probabilisé , on désignera par
)
(
A
P
B
la probabilité
conditionnelle de
A
sachant
B , où
B
est un événement de probabilité non nulle :
)
/
(
)
(
B
A
P
A
P
B
=
.
On considère un réel strictement positif
α
et la fonction
α
f
définie sur
R
I
par :
Pour tout
]
]
)
1
(
)
(
,
1
;
0
-
α
α
α
=
∈
t
t
f
t
et
pour tout
]
]
]
[
0
)
(
,
;
1
0
;
=
∞
+
∪
∞
-
∈
α
t
f
t
.
1.
(a)
Montrer que
α
f
est une densité de probabilité. Soit
α
X
une variable aléatoire de densité
α
f
.
(b)
Déterminer la fonction de répartition de la variable
α
X
.
(c)
Montrer que pour tous réels
a
et
b
tels que
)
(
)
(
,
1
0
b
a
X
P
a
X
P
b
a
b
X
≤
=
≤
≤
≤
<
α
α
≤
α
.
(
C' est
-à-dire
)
(
)
/
(
b
a
X
P
b
X
a
X
P
≤
=
≤
≤
α
α
α
).
2.
Ce paragraphe étudie une fonction
H
vérifiant la propriété
(R)
:
(R)
:
H
est dérivable sur
]
]
1
;
0
et pour tous réels
x
et
y
de
]
]
1
;
0
,
)
(
)
(
)
(
y
H
x
H
xy
H
=
.
(a)
Montrer que pour tout réel
t
de
]
]
1
;
0
,
(
)
)
(
)
(
2
t
H
t
H
=
. En déduire le signe de
H
sur
]
]
1
;
0
.
(b)
On suppose ici qu'il existe un réel
β
de
]
]
1
;
0
tel que
0
)
(
=
β
H
.
Montrer grâce au 2(a) et par récurrence que pour tout entier naturel
n
,
0
)
(
2
1
=
β
n
H
.
En déduire par continuité de
H
que
0
)
1
(
=
H
, puis , que
H
est
nulle sur
]
]
1
;
0
.
(c)
On suppose ici que pour tout réel
β
de
]
]
1
;
0
,
0
)
(
≠
β
H
.
c1. Montrer que
H
est strictement positive sur
]
]
1
;
0
. Montrer que
1
)
1
(
=
H
.
c2. Montrer que pour tous réels
x
et
y
de
]
]
1
;
0
,
)
(
)
('
)
('
y
H
x
H
xy
yH
=
.
c3. On considère la fonction
V
dérivable sur
]
]
1
;
0
définie par :
]
]
))
(
ln(
)
(
,
1
;
0
réel
tout
Pour
t
H
t
V
t
=
∈
.
Montrer que pour tout réel
]
]
t
H
t
V
t
)
1
('
)
('
,
1
;
0
=
∈
.
c4. Montrer que pour tout réel
]
]
)
ln(
)
1
('
)
(
,
1
;
0
t
H
t
V
t
=
∈
.
En déduire que pour tout réel
]
]
)
1
('
)
(
,
1
;
0
H
t
t
H
t
=
∈
.
3.
On suppose dans ce paragraphe que
Y
est une variable à densité vérifiant les propriétés suivantes :
•
Y
(
Ω
) =
]
]
1
;
0
.
•
La fonction de répartition
Y
F
de
Y
est dérivable sur
]
]
1
;
0
.
•
Pour tous réels
a
et
b
tels que
)
(
)
(
,
1
0
b
a
Y
P
a
Y
P
b
a
b
Y
≤
=
≤
≤
≤
<
≤
.
(a)
Montrer que
Y
F
vérifie la propriété
(R)
.
(b)
En déduire qu'il existe un réel strictement positif
α
tel que
Y
et
α
X
suivent la même loi.
EXERCICE 3
On considère la fonction
f
définie sur
N
I
par
:
=
=
=
impair
est
k
si
k
f
k
comprend
ceci
pair
est
k
si
k
f
1
)
(
)
0
(
0
)
(
.
On considère un entier naturel non nul
N
, et on définit les suites
N
I
k
k
N
∈
)
(
et
N
I
k
k
u
∈
)
(
de la manière suivante :
=
-
=
∈
=
=
+
+
+
)
(
et
2
,
tout
Pour
)
(
;
1
1
1
0
0
0
k
k
k
k
k
N
f
u
u
N
N
N
I
k
N
f
u
N
N
1.
Deux exemples.
(a)
Déterminer les suites
N
I
k
k
N
∈
)
(
et
N
I
k
k
u
∈
)
(
lorsque
27
=
N
.
(b)
Déterminer les suites
N
I
k
k
N
∈
)
(
et
N
I
k
k
u
∈
)
(
lorsque
10
2
=
N
.
2.
Dans cette question on étudie les suites
N
I
k
k
N
∈
)
(
et
N
I
k
k
u
∈
)
(
dans le cas général
.
(a)
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel
k
:
{
}
N
I
N
u
k
k
à
appartient
et
existe
et
1
,
0
à
appartient
et
existe
.
(b)
Montrer que pour tout entier naturel
k
,
k
k
N
N
2
1
1
≤
+
.
En déduire que la suite
N
I
k
k
N
∈
)
(
est de limite nulle.
Montrer qu'il existe un rang
0
n
à partir duquel
k
N
est inférieur à
2
1
.
En déduire que pour tout entier naturel
k
supérieur ou égal à
0
n
,
0
=
=
k
k
u
N
.
(c)
Montrer que pour tout entier naturel
k
,
k
k
k
k
k
k
u
N
N
2
2
2
1
1
-
=
-
+
+
.
En déduire en sommant de
k
= 0
à
0
n
que :
0
0
2
2
2
1
1
0
0
n
n
u
u
u
N
+
+
+
=
.
(d)
Montrer que la suite
N
I
k
k
u
∈
)
(
ne peut pas être la suite identiquement nulle.
Il existe donc un entier
s
inférieur à
n
0
tel que
=
et pour tout
k
strictement supérieur à
s ,
=
.
3.
Informatique.
On dispose de la fonction Turbo-Pascal définie de la manière suivante :
function
g ( n : integer ) : integer ;
begin
g : = n - 2
*
int ( n / 2 ) ;
end;
où
int (x)
représente la fonction mathématique " partie entière de
x
" , aussi notée [
x
] .
( On rappelle que [
x
]
est l'unique entier tel que
1
]
[
]
[
+
<
≤
x
x
x
).
(a)
En distinguant deux cas selon que
n
est pair ou impair , montrer
que la fonction
g
n'est autre que la fonction
f
.
(b)
Soit
d
l'entier égal à la partie entière de
)
2
ln(
)
ln(
N
.
Montrer que
d
est l'unique entier tel que
1
2
2
+
<
≤
d
d
N
.
En déduire que l'entier
s
évoqué dans le 2.(d) est égal à
d
.
(c)
Ecrire finalement un programme utilisant la fonction
g
qui demande un entier naturel
non nul
N
, calcule
d
et affiche successivement les valeurs
d
u
u
u
,
,
,
1
0
.
  • Univers Univers
  • Ebooks Ebooks
  • Livres audio Livres audio
  • Presse Presse
  • Podcasts Podcasts
  • BD BD
  • Documents Documents
Signaler un problème
playstore
appstore
facebook twitter instagram youtube

YouScribe

Le catalogue

Le service

Les conditions

© 2010-2024 YouScribe
Livre audio en ligne - Développement personnel Livre en ligne Tout le catalogue Tous les Intérêts