Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (ECE) Ecole Supérieure de Gestion (ESG)

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Examen du Supérieur Ecole Supérieure de Gestion (ESG). Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 66
• Langue: Français

Extrait

ESG 2005 Option économique Math I

AVIS : Nous rappelons que lusage des calculatrices est interdit Aucun document nest autorisé.Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats et à donner des démonstrations complètes de leurs a¢ rmations.

EXERCICE DE PROBABILITÉS (sur 4 points)

Un candidat participe à un jeu télévisé où on lui pose cinq questions.Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule bien sûr étant correcte.Le candidat est gagnant sil a fourni au moins quatre réponses exactes. Sile candidat ne connaît pas la réponse, il répond au hasard ; sinon il fournit la bonne réponse avec une probabilité égale à 1.Soitpla probabilité quil connaisse la réponse pour chacune des questions.

1. Déterminerla probabilitérque le candidat réponde correctement à une question particulière.

2. Exprimeren fonction derla probabilitéquil soit gagnant.

3. Sachantque le candidat a gagné, calculer en fonction depla probabilitéquil ait répondu exactement à toutes les questions.

4. Audébut du jeu, on présente au candidat trois enveloppes contenant le questionnaire qui lui sera remis et il en choisit une au hasard.Sachant quil connaît quatre réponses dans lenveloppeE 1 et deux dans les enveloppesEetE, calculer sa probabilité de gaing. 2 3

EXERCICE DALGÈBRE (sur 6 points) On noteElespace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 2, muni de sa base canonique 2 B= (1;X;X). E!E Soitulapplication dénie surEpar avec P7!u(P) 20 8x2R; u(P)(x) = (2x+ 1)P(x)(x1)P(x); 0 oùPdésigne la dérivée première du polynômeP.

1. Montrerqueuest un endomorphisme deE.

2. Déterminerla matriceMdeurelativement à la baseB.

3. Déterminerles valeurs propres deuet les sous espaces propres associés. Lendomorphismeuest-il diagonalisable ?

EXERCICE DANALYSE (sur 10 points)

nx e Pour tout entiern>0, on notefla fonction dénie surRpar :f(x) = n n x 1 +e On noteC n la courbe représentative def n .

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Partie A 1. (a)Étudier les variations defainsi que les branches innies de sa courbeC(on ne construira pas cette n n courbe). E¤ectuer un tableau de variation pour chacun des casn= 0;n= 1;n>2. (b) Démontrerque lorsquendécritNles courbesC n passent par un point xeque lon déterminera. 2. Étudedes fonctionsf 0 etf 1 . (a) Démontrerque8x2R; f 1 (x) =f 0 (x). Quepeut-on en déduire pour les courbesC 0 etC 1 ? 00 00 lculerf). Po ur quelle valeurx 0 0 ? (b) Ca 0 (xa-t-onf(x 0 ) = 0 Trouver une équation de la tangente àC 0 au point dabscissex 0 . (c) Démontrerque le pointest centre de symétrie pour chacune des courbesC 0 etC 1 . 3. Étudede la fonctionf. 2

(a) Démontrerque lapplicationf 2 admet une fonction réciproque notée'dont on précisera lensemble de dénition et quelques propriétés (continuité, sens de variation, dérivabilité).On noterala courbe représentative de'. (b) Trouverune équation de la tangente àC 2 au point dabscisse nulle et une équation de la tangente à 1 au point dabscisse. 2 Partie B 1 R Soit la suite(u n )dénie par :8n2N; u n =f n (x)dx 0 1. (a)Calculeru 0 . (b) Étudieru+u; en déduire la valeur deu. 0 11  2. (a)Soit la suite (v)dénie par :8n2N; v=u+u n nn n+1 n 1e  Démontrer que8n2N; v n =. n (b) Montrerque la suite(v n )Quelle est sa limite ?est convergente. 3. Aprèsavoir étudié le signe deu n montrer que la suite(u n )est convergente.Quelle est sa limite ?

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