Mathématiques 2005 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2005 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2005

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 613
• Langue: Français

Extrait

Ecricome 2005, option S. meamscpamoalfi´di)ea(evpcorrg

EXERCICE 1 3 L’espaceRestdesomuniudtipnoriaercslaTrl.ueusel´esroisa,b,ces:e´,snoope´nnodtnat   a c b   M(a, b, c) =c a+b c b c a 1)mretrenie´DcerisoitratsmI,J,Kcffieicseotnelodentppended´entsnedsaa,b,c, telles que : M(a, b, c) =aI+bJ+cK 2 23 2 CalculerJ,KetKerD.ete´nimrerunerelationentI,JetK,iasnqilypounu’eomnˆ annulateur deK. Quelles sont les valeurs propres possibles deK? t 2)Justifier qu’il existe une matriceP∈ M 3 (R) inversible, telle queD= (P)KPsoit une matrice diagonale. D´eterminerPetD´ietci´ocnosnpdrttelseeseidfieanne´lvqrsettleeud 1,1 < d 2,2 < d 3,3 `u(o d i,j est le coefficient d’indicesi, jdeD.) 2 t 3)E´nceiravtnM=M(a, b, c) en fonction deI,K,K(ertcialamniree´d,mretP)M P. Ende´duirelesvaleurspropresdelamatriceM. Discuter suivant les valeurs dea,b,cle nombre de valeurs propres distinctes deMecr´tpeeris danschaquecaslessous-espacespropresassoci´es. √ √ 4)On suppose dans cette questiona= 4,b= 2,c= 2et on noteM=M(4,2,2).    0 x x    0 0t On poseX=y= (P)Xo,`uX=y 0 z z 3 a)ndOitnoofcntiale´nfifsurR\ {(0,0,0)}par : t (X)M X f(x, y, z) = 2 ||X|| 202 i.Montrer que||X||=||X||puis que : 020202 4x+ 2y+ 8z f(x, y, z) = 020202 x+y+z 3 ii.Montrer que 2 et 8 sont respectivement les minimum et maximum defsurR\(0,0,0) etd´eterminerlespointsenlesquelsilssontatteints. 2 b)Oncherched´rosesiam´ra`uoseeldreq’´tiuaonB=Md’inconnueB∈ M 3 (R). i.SoitBuerqMnoe)s.orentuednoitultauqe´’lils’n(ioteisexenBetMcommutent. Ende´duirequesiXappartient au sous-espace propreE λ deMrpruelavala`e´hctaatopre λ, alorsBXa`suisneatraitappE λ . Montrer que les vecteurs propres deMcteurspropresdeostne´agelemtnevB. t Justifier alors que Δ = (P)BPest une matrice diagonale. 2 t ii.´eso=(Rilo’n´ΔequudarteP)M Pd’inconnue Δ et donner le nombre de solutions de 2 l’e´quationB=M.

EXERCICE 2 Ond´efinitunesuiter´eelle(u n ) n∈N par : p u 0 >0 ;∀n>1, u n =n+u n−1 √ 1)Montrer que pour tout entiern,u n >n. √ 1 2)a)Montrer que :∀x∈R + , x6(1 +x). 2   u 0 u n−1 b)tneiretuotruopeuqeriuedd´Enn,u n 6n+ puisque la suiteconverge n2 n>1 2n vers 0.   u n c)converge vers 0, puis en remarquant que, pour tout entierMontrer que la suiten n>1 n r u n u n−1 non nul, 16 √ 6ne,de´d+1quivalenuireun´edteu n en +∞. n n √ √ 3)On posew n =u n −nail’.Aeppoleve´dnu’dedn0det´eelimiment1+x, montrer que la suite (w n ) n∈N admet une limiteLo’pn´rcesire.aelqu √ √ 4)(Calculer limn−n−1) puislim (u n −u n−1 ). n→+∞n→+∞ Justifier alors qu’il existe un entier naturelN 0 tel que pour tout entiern, sin>N 0 alors 1 u n >u n−1 −. 2 Montrer queu n+1 −u n +est du signe de 1u n −u n−1 , puis que la suite (u n ) est croissante a`partird’uncertainrang. 5)urecr´onanayvesiulacsaPeitcnofenrireEcngagenlaptuonrmosuitequi calcule le terme d’indicende la suite lorsqueu 0 = 1.

` PROBLEME

XetYobprilabesmecepae´si,les,´eelresratoimneˆusurinse´dfietdanet´e´laselbairavxue inde´pendantes,admettantpourdensite´srespectivesf X etf Y , on rappelle que la fonctionh d´efiniepar Z +∞ h(x) =f X (t)f Y (x−t) dt −∞ estunedensit´edelavariableale´atoireX+Y.

PartieI:Uncalculd’int´egrale.

1)vseluelaudsree´rlDe´terminerpourquelαl’t´inraegleJ α reegocvn`ou Z +∞ dt J α = 2α (1 +t) 0 2)ue,pourtmontrerquorte´lenu’dediarge´tniearnpioats,iertpaAl’α`aal1,roeuegu´spue´ir on a : Z +∞ 2 t1 dt=J α 2α+1 (1 +t) 2α 0 End´eduireque,pourtoutr´eelαroeuri´eups:ano1a`lage´u 2α−1 J α+1 =J α 2α 3)CalculerJ 1 . Pourngal`a1,calculerreus´preeiruuoe´tienJ n . 2

PartieII:LoideStudent`anegdiledse´r.e´treb ∗ Pourn∈Nstru,ond´efiniRla fonctiong n par : 2 n+1   t − 2 ∀t∈R, g n (t1 +) = n 1 ∗ 1)Justifier que, pour toutn∈Neustxile,ilerne´k n tel que la fonctionf n =g n soit une k n densite´deprobabilit´e.Exprimerk n a`’liaeddeJe´tidila,stjuena,avtsanifi(Onpourr. n+1 2 t utiliser le changement de variablesu= √ ). n 2)Soient (Ω,A, Papserpecbabosili´eetun)Xlae´taioer´dfieinseruΩ(unevariable,A, P), de densit´ef n . (On dira queXudStt`enatiuslenuedionde´egrbiredsle.´t)e a)Montrer queXenemulseitsre´pseenteisecnametuadn >1 et la calculer dans ce cas. b)Montrer queXadmet une variance si et seulement sin >2, exprimerV(X) en fonction de k n ,netJ:euqrefiri´esvuip n−1 2 n V(X) = n−2 Lorsquen= 1tueSntdeal`adiol1delebire´tsea’ppelleloideCauchyesnedenute´tidr´eg surRest donc : 1 1 f 1 :t7→ 2 π1 +t Partie III :Simulation d’une loi. ~ ~ Dansleplanrapport´ea`unrepe`reorthonormaldirect(O, i, j), un rayon lumineux part de l’origine Oqeaude´’itnopr´eanre´ecrpeunortilrdae´apestnparftex= 1, en un pointM. On suppose que −−→ π π ~ θ, mesure de l’angle (i, OMeal´eatoiredeloi)e,tsnuveraailbfinuemro]rus−,[. 2 2 1)varadnletioiaptrer´eiondonctrlafnaetirtoeal´eabliaD´eretnemiθuqeriude´dnE.etanθest unevariableal´eatoire`adensite´,dontonexpliciteraunedensite´. 2)ExprimerYbliaar,vtoeal´eagelari´eo’dr`elaeeduonn´tpoinM, en fonction deθ. Reconnaˆıtre la loi deY. 3)On rappelle qu’en langage Pascal, la fonctionrandombairavenuelumisdelooire´eatleali uniforme sur ]0,`eidlereOn[.nscofnieamrogorpmmarvant:tiquesui1 program simu; var u,x:real; begin randomize ; u:=random ; x :=sin(pi*u-pi/2)/cos(pi*u-pi/2); end. Quelleloideprobabilit´eceprogrammepermet-ildesimuler?Expliquer. PartieIV:Obtentiond’uneloideCauchy`apartirdeloisnormales. Onconside`reunespaceprobabilis´e(Ω,A, P). 1)SoitY´laelbaideriotaearevunΩ(rnfie´usei,A, Pn)aptrtioindio´eeref,dctonF. On notera Gernctiondelafoalednoititrape´roiat´ealleabriva|Y|. a)On suppose dans cette question queYdensit´eesneturivaelbae´laiotaederfcontinue sur R. Exprimerunedensit´ede−Yededia’al`fet montrer queYet−Yisteleiomˆemont seulement sifest paire. Onsupposecetteconditionve´rifie´e.ExprimerGedid’aale`Fet montrer que|Y|est une variableale´atoirea`densite´.Exprimerunedensit´egde|Y|en fonction def. 3