Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (ECO) Concours Ecricome

Description

Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 70
• Langue: Français

Extrait

ECRI COME Banque dépreuves communes aux concours des Ecoles es bordeaux/ esc marseille/ icnancy /esc reims/ esrouen /esc toulouse

CONCOURS DADMISSION

option economique

MATHÉMATIQUES

Aucun instrument de calcul nest autorisé. Aucun document nest autorisé.

Lénoncé comporte 5 pages

Année 2006

Les candidats sont invités à soigner la présentation de leur copie, à mettre en évidence les principaux résultats, à respecter les notations de lénoncé, et à donner des démonstrations complètes (mais brèves) de leurs a¢ rmations.

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Tournez la page S.V.P

EXERCICE 1 . Onconsidère la fonctionfdénie pour tout réelxpar : x :f(x) =x+ 1 + 2e ainsi que la fonctiongdes deux variables réellesxetydénie par :   x2x g(x; y) =e x+y+e

1. Recherchedextremum local deg: 1. Etudierles variations defet donner les limites def(x)lorsquextend vers+1et1. 2. Justierlexistence dune asymptote oblique au voisinage de1et donner la position de la courbe représen- tative defpar rapport à cette asymptote. 3. Déduiredes variations deflexistence dun unique réel, élément de lintervalle[2;1]tel quef() = 0. ( on rappelle quee'2;7) 2 4. Déterminerle seul point critique deg, cest-à-dire le seul couple deR, en lequelgest susceptible de présenter un extremum. 5. Vérierquegprésente un extremum relatifEst-ce un maximum ou un minimum ?en ce point. 6. Montrerque lon a : 2 4+1 = 0

2. Etudedune suite réelle. On sintéresse à la suite(u n )dénie par son premier termeu 0 =1et par la relation n2N f(u n ) 8n2Nu n+1 =u n  0 f(u n ) 1. Prouverquefest convexe surR. Endéduire que que pour tous réelsxett:

0 f(x) + (tx)f(x)6f(t) 2. Endéduire linégalité suivante : 8n2N6u n+1 Puis que pour tout entier natureln. : 6u n+1 6u n 61 En déduire que la suite(u n )est convergente vers un réel à préciser n2N 3. Onadmet que pour toutxde lintervalle[2;1] : 2 (x) 0 06(x)f(x)f(x)6 e (a) Prouveralors que pour tout entier natureln: 2 (u n ) 06u n+1 6 e (b) Puisdémontrer par récurrence que pour tout entier natureln: 1 06u6 n n 2 e1 4. Écrireun programme en langage Pascal permettant, lorsque lentier naturelpest donné par lutilisateur, de calculer une valeur approchée de, de telle sorte que lon ait : p 06u n 610

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EXERCICE 2 Pour tout entier natureln, on dénit la fonctionf n de la variable réellexpar :   2 x n f n (x) =xexp 2 1 1. Justierquef n (x)au voisinage deest négligeable devant+1. 2 x +1 R 2. Prouverla convergence de lintégralef n (x)dx 0 +1 R 3. OposeI n =f n (x)dx 0

(a) Alaide dune intégration par parties portant sur des intégrales dénies sur le segment[0; A]avecA>0, prouver que pour tout entier natureln:

I= (n+ 1)I n+2n

(b) Enutilisant la loi normale centrée réduite, justier que : r  I= 0 2

(c) Donnerla valeur deI 1 (d) Démontrerpar récurrence que pour tout entier natureln:

r (2n)! I 2n = n 2 2n! n I 2n+1 = 2n!

4. Soitfla fonction dénie pour tout réelxpar :  f(x) =f 1 (x)six>0 f(x) = 0six <0

(a) Démontrerquefest une densité de probabilité. (b) SoitXune variable aléatoire réelle qui admetfpour densité de probabilité. i. JustierqueXadmet une espéranceE(X), et préciser sa valeur ii. JustierqueXadmet une varianceV(X), et préciser sa valeur.

2 5. Ondésigne parFetGles fonctions de répartitions respectives deXet deY=X

(a) ExprimerG(x)en fonction deF(x)en distinguant les deux cas :x <0etx>0 (b) Endéduire queYest une variable à densité.Reconnaître la loi deYet donner la valeur deE(Y)et V(Y)

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EXERCICE 3 Ecients réels, dont le degré est inférieur ou égal à lentier natureldésigne lespace des fonctions polynômes à coe¢ 2.

1. Etudedun endomorphisme deE. On considère lapplicationfqui, à tout élémentPdeE;associe la fonction polynômeQtelle que : 0 pour toutxréel :Q(x) = (x1)P(x) +P(x) etB= (P 0 ; P 1 ; P 2 )la base canonique deEdénie par : 2 pour tout réelx:P 0 (x) = 1; P 1 (x) =xetP 2 (x) =x

1. Montrerquefest un endomorphisme deE.

2. Vérierque la matriceAdefdansB, sécrit sous la forme : 0 1 11 0 @ A A = 022 0 0 3

3. Quellessont les valeurs propres def?fest-il diagonalisable ?fest-il un automorphisme deE? 4. Déterminerlimage parfdes fonctions polynômesR 0 ; R 1 ; R 2 dénies par : 2 pour tout réelx:R 0 (x) = 1; R 1 (x) =x1etR 2 (x) = (x1)

0 5. MontrerqueB= (R 0 ; R 1 ; R 2 )est une base de vecteurs propres defla matrice de passage. ÉcrirePde la 0 0 baseBà la baseBainsi que la matriceDdefdans la baseB:

6. Vérierque pour tout réelx:

 R 2 x+ 2R 1 (x) +R 0 (x) =P 2 (x) R 1 (x) +R 0 (x) =P 1 (x)

0 En déduire la matrice de passage de la baseBà la baseB

11 7. ÉcrireAen fonction deD :Démontrer par récurrence que pour tout entier natureln:    n n 111 A=PP D   n 1 et expliciter la troisième colonne de la matriceA

2. Suitedépreuves aléatoires. On dispose dune urne qui contient trois boules numérotées de 0 à 2. On sintéresse à une suite dépreuves dénies de la manière suivante :

La première épreuve consiste à choisir au hasard une boule dans cette urne.

Sijest le numéro de la boule tirée, on enlève de lurne toutes les boules dont le numéro est strictement supérieur àj, le tirage suivant se faisant alors dans lurne ne contenant plus que les boules numérotées de0 àj.

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eme On considère alors la variable aléatoire réelleX k égale au numéro de la boule obtenue à laképreuve (k>0) On note alorsU k la matrice unicolonne dénie par : 0 1 P[X k = 0] @ A U k =P[X k = 1] P[X k = 2]

eme oùP[X k =j]est la probabilité de tirer la boule numérojà laképreuve. On convient de dénir la matriceU 0 par : 0 1 0 @ A U 0 = 0 1

1. Déterminerla loi deX 2 (On pourra saider dun arbre).Calculer lespérance et la variance deX 2 2. Parutilisation de la formule des probabilités totales, prouver que pour tout entier naturelk:

1 3. ÉcrireUen fonction deAetU k 0

1 U k+1 =A U k

4. PourtoutkdeN, donner la loi deX k et vérier que lon a :

limP[X k = 0] = 1; k!+1

limP[X k = 1] = 0; k!+1

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limP[X k = 2] = 0 k!+1