Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (ECO) Concours ESC

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 61
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION ECONOMIQUE Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.

Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

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EXERCICE 1 0 10 10 1 58 41 41 0 0 @ A@ A@ A On considère les matrices :A = 10 0 ; T = 02 1 ; P  = 12 1 où2R: 0 10 00 21 10 3 !!! 3 On noteflendomorphisme deRde matriceAdans la base canoniqueB= (e 1 ; e 2 ; e 3 )deR.

1. Etudieren discutant selonlinversibilité de la matriceP  . (Onutilisera la méthode du pivot). 3 2 2. OnnoteQle polynôme déni surRparQ(x) =x+ 5x8x+ 4:

(a) Montrerpar une méthode du pivot que :est valeur propre deA()Q() = 0: (b) CalculerQ(1). Endéduire les valeurs propres deA. (c) Déterminerune base de chaque sous-espace propre deA. La matriceAest-elle diagonalisable ? !! 3. Ondénit les tripletsv 1 = (1;1;1)etv 2 = (4;2;1). !!!! (a) Justierquef(v 1 ) =v 1 et quef(v 2 ) = 2v 2 : !!!! Déterminer le réel 0 tel que le tripletv 3 = ( 0 ;1;0)vérief(v 3 ) =v 2 + 2v 3 : (b) Montrergrâce à la question1queP  est inversible. 0 0 !!! 3 En déduire que la familleB= (v 1 ; v 2 ; v 3 )est une base deR. 0 10 1 9 1 @ A@ A (c) Vérierpar calcul queP 8 =1 (ce résultat servira en question 4.)  0 6 1 11 alculerP (d) Sansc  , justier la relation:A=P  T P 0 0  0 0 1 1 00 n nn1 @ A (e) Montrerque pour tout entier natureln,T = 02n2 n 0 02

4. Onconsidère la suite(u n )ainsi dénie : n2N  u 0 = 1;u 1 =1 ;u 2 = 1 Pour tout entier natureln; u n+3 = 5u n+2 8u n+1 + 4u n 0 1 u n+2 @ A (a) Onpose, pour tout entier natureln,Y n = u n+1 que. MontrerY n+1 =A Y n . u n n1 (b) Montrerpar récurrence que pour tout entier natureln; Y=PP T n  0 Y 0 .  0 (c) Enutilisant la question 3., exprimeru n en fonction denpour tout entier natureln.

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EXERCICE 2

Les questions 2 et 3 sont indépendantes.

x On considère la fonctiongdénie surRparg(x) =ex. Pour chaque entier naturelnsupérieur ou égal à 2, on considère léquation notée(E n ):g(x) =n;dinconnue le réelx..

1. (a)Dresser le tableau des variations degen précisant les limites aux bornes. (b) Montrerque léquation(E n )admet exactement deux solutions, lune strictement négative notée n et lautre strictement positive notée. n 2. Danscette question on note(u k )la suite ainsi dénie : k2N  u 0 =1 u k Pour tout entier naturelk; u k+1 =e2

(a) Onrappelle que 2 est le réel strictement négatif obtenu à la question 1.(b) lorsquen= 2 Calculerg(1)etg(2)puis montrer que2661. 2  2 (b) Justierquee2 = 2 . En déduire par récurrence surkque pour tout entier naturel: 2 6u k 61: (c) Enutilisant linégalité des accroissements nis avec une fonction adéquate, montrer que pour tous réels 1 b a aetbtels quea6b61;06ee6(ba): e u  k 2 (d) Montrerque pour tout entier naturelk,u=ee k +1 2   k 1 En déduire par récurrence sur k que pour tout entier naturelk: 06u k  2 6. e (e) Montrerque la suite(u k )est convergente et de limite 2 . k2N (f) Onconsidère le programme Turbo-Pascal suivant:( oùtruncdésigne la fonction partie entière) program ex2 ; var N, k :integer ; epsilon, u :real ; begin writeln (  Donnez un reel strictement positif); readln (epsilon ); N := trunc ( - Ln (epsilon ) ) + 1 ; u ._ -1 ; for k := 1 to N do ...........................; end.   N 1 Montrer que lentier naturelNcalculé dans ce programme vérie :6epsilon e Compléter la partie pointillée de ce programme an que la variableucontienne après son exécution une valeur approchée de 2 à epsilon près.

3. Onrevient au cas général oùn>2.

(a) Montrerque16g(lnn)6n:En déduire(ln (2n))>n( on donneln 2'0;69). (b) Endéduire queln (n)66ln (2n), puis établirsln (n). n n n!+1

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EXERCICE 3 Dans cet exerciceRdésigne un réel xé strictement positif et on considère la fonctionfdénie surRpar : ( f(t) = 0sit =2[0 ;R] 2t f(t) =sit2[0 ;R] 2 R 1. (a)Etudier la continuité def. (b) Montrerquefest une densité de probabilité. On note dans toute la suiteXune variable aléatoire réelle de densitéf.F X désigne sa fonction de répartition. 2. (a)Déterminer la valeurF X (x)lorsquex <0, puis lorsquex > R: 2 x (b) Montrerque pour tout réelxde[0;R],F X (x) =. 2 R 2R 3. (a)Montrer queXadmet une espérance et queE(X) =: 3 2 R (b) MontrerqueXadmet une variance et queV(X) =: 18 Dans toute la suitendésigne un entier naturel non nul etX 1 ; X 2 ; :::; X n des variables aléatoires in- dépendantes et de même loi queXcherche à estimer le réel. OnRà laide deX 1 ; X 2 ; ::; X n . n 3 P 4. OnnoteT n =X k et on cherche à estimerRavecT n : 2n k=1 Montrer queT n est un estimateur sans biais deRet calculer son risque quadratique notér(T n ): 5. On noteM n la variable aléatoire prenant pour valeur le maximum des valeurs prises par les variables X 1 ; X 2 ; ::; X n , de sorte que pour tout réelx;(M n 6x) = (X 1 6x)\(X 2 6x)\    \(X n 6x): n (a) Montrerque pour tout réelx,P(M n 6x) = (F X (x)). Endéduire la fonction de répartition deM n , puis montrer queM n est une variable aléatoire à densité. (b) Montrerquune densité possible deM n est la fonctiong n dénie surRpar : 8 2n1 < t g n (t) = 2nsit2[0;R] 2n R : g n (t) = 0sit2=[0;R] (c) MontrerqueM n admet une espérance et une variance, et que: 2n n 2 E(M n ) =RetV(M n ) =R 2 2n+ 1 (n+ 1) (2n+ 1)

(d) Oncherche à estimerRavecM n : Calculer le biais deM n , notéb(M n ), et son risque quadratique notér(M n ).

6. (a)Déterminer un équivalent simple lorsquentend vers1deb(M n )etr(M n ). (b) Quelssont les avantages et les inconvénients réciproques des estimateursT n etM n ?

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