Mathématiques 2006 Classe Prepa HEC (STG) Concours ESC

Description

Concours du Supérieur Concours ESC. Sujet de Mathématiques 2006. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2006

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 320
• Langue: Français

Extrait

ASSEMBLEE DES CHAMBRES FRANCAISES DE COMMERCE ET DINDUSTRIE

EPREUVES ESC CONCOURS DADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION TECHNOLOGIQUE Année 2006

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies.Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.Ils ne doivent faire usage daucun document ; Lusage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.

Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée.

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EXERCICE 1 0 10 10 1 1 0 00 0 01 0 0 @ A@ A@ A Soient les matrices carrées :A= 65 6; H= 33 3; I= 01 0 212 30 0 11 1

21 1. (a)Montrer queA= 3I2A. Endéduire queAest inversible et détailler la matriceA. (b) Montrerquil existe un réelatel queAH=aH. (c) Montrerquil existe un réelbtel queA=I+bH. On considère la suite(b n ) n2N dénie par :  b 0 = 0 Pour tout entier natureln; b n+1 =3b n + 2:

n 2. (a)Sans calculerb n , montrer par récurrence que pour tout entier natureln,A=I+b n H. 0 1 01 1 1 n @ A @A (b) EndéduireA 3 = 3b n + 3 3b n + 3 0 1 1 @ A (c) Calculerb n en fonction den;puis exprimer la matrice colonne 3b n + 3 en fonction den. b n + 3 On considère maintenant les suites(u n ) n2N et(v n ) n2N dénies par :  u=v= 3 0 0 Pour tout entier natureln; u n+1 = 65u n + 6v n etv n+1 = 22u n + 3v n : 0 1 1 @ A On note, pour tout entier natureln,X n = u n . v n 3. (a)Montrer que pour tout entier natureln; X n+1 =AX n . n (b) Endéduire que pour tout entier natureln; X n =A X 0 . (c) Calculernalementu n etv n en fonction den.

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EXERCICE 2 On considère une constante réelleAstrictement supérieure à 1. On note alorsfla fonction dénie surRpar: ( 1 si16t6A f(t) = tlnA 0sit <1out > A 1. (a) Justierque pour tout réelt,f(t)>0. 0 (b) Calculerf(t)dans les trois cas suivants :t <1;1< t < A;t > A. Quel est le sens de variation defsur lintervalle]1;A[? 1 (c) Danscette question uniquement on suppose queA= 2donne. On'1;4. ln 2 Tracer lallure de la courbe defdans un repère orthonormé dunité 5cm. x R On noteFla fonction dénie surRpar :F(x) =f(t)dt. 1 2. (a)CalculerF(x)dans le cas oùx <1. lnx (b) Montrerque si16x6A; F(x) =. DonnerF(A). lnA (c) Montrerque pour tout réelx > A; F(x) = 1. On dit quune variable aléatoireTsuit laloi de Benford de paramètreAlorsque cette variable aléatoireTest une variable à densité, de densitéfet de fonction de répartitionF. On suppose dans toute la suite queXsuit uneloi de Benford de paramètre 10et on remplace doncle réelApar 10 dans les expressions defet deF. 9 3. (a)Montrer que lespérance deXvautE(X) = ln 10 (b) Soienta; betctrois réels tels que :16a < b610,16ac6bc610: Calculer en fonction deaetbles probabilités :P(a < X6b)etP(ac < X6bc). Montrer quelles sont égales.(On dit que laloi de Benfordest invariante par changement déchelle). 2 4. OnnoteYla variable aléatoire dénie parY=X. (a) SoityJustier queun réel strictement inférieur à 1.P(Y6y) = 0: (b) Soityun réel strictement supérieur à100que. JustierP(Y6y) = 1. 3 ln 2 (c) MontrerqueP(Y664) =P(X68) =. ln 10 lny (d) Plusgénéralement, soityun réel appartenant à[1; 100]: MontrerqueP(Y6y) =. 2 ln 10 (e) Déterminerune densité deYet montrer queYsuit uneloi de Benfordde paramètre 100.

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EXERCICE 3

Les parties B et C sont indépendantes

On considère trois urnes :lurneU 1 contient deux boules rouges et trois boules bleues, lurneU 2 contient une boule rouge et aucune boule bleue et lurneU 3 contient une boule bleue et aucune boule rouge.On choisit dabord une de ces trois urnes au hasard avec équiprobabilité.Une fois cette urne choisie, on e¤ectue dans cette urne et sans jamais en changer une série illimitée de tirages dune boule, avec remise dans cette urne.Pouri= 1;2;3 on noteU i lévénement :« lurnechoisie pour les tirages est lurneU i tout entier naturel non nul» .Pourk, on noteR k :« lek-ième tirage a amené une boule rouge ».

Partie A 1. Justierque les événements (UU ;U ;) forment un système complet dévénements. 1 2 3  Soitk2N:Donner les probabilités conditionnellesP(R),P(R),P(R). U 1 k U 2 k U 3 k 7 En déduireP(R k ) =. 15 2. Soitnun entier naturel non nul.   n 2 (a) JustierqueP(R\R=. U 1 1 2 \    \R n ) 5 (R   \R)e 2 1 \R 2 \ n R 2 \    \R (b) Préciserles valeurs deP U tP U 3 (R 1 \ n ).   n 2 1 1 En déduire par formule des probabilités totales queP(R 1 \R 2 \    \R n +) =. 3 5 3 3. Montrerque les événementsR 1 etR 2 ne sont pas indépendants.

Partie B 2 k 1 + () 5 1. Montrerque pour tout entierk>2,P k1 R k ) =. R 1 \R 2 \\R ( 2 k1 1 + () 5 2. OnnoteZla variable aléatoire égale au rang où une boule bleue apparait pour la première fois, et égale à 0 si aucune boule bleue napparait jamais. 8 (a) JustierqueP(Z= 1) =. 15  k) =P(R\R\    \R)P(. (b) Soitun entierk>2que. MontrerP(Z= 1 2 k1 R 1 \R 2 \\R k1 R k )   k1 1 2 En déduire grâce aux questions précédentes que pour tout entierk>2,P(Z=k) =. 5 5 +1 P (c) CalculerP(Z= 1) +P(Z=k)et en déduireP(Z= 0). k=2 Partie C Dans cette partie on sintéresse à la variable aléatoireXégale au nombre de tirages ayant amené une boule rougeau cours des 200 premiers tirages.

1. (a)DonnerX().     k200k   2 3 200 (b) Soitkun entier def0; :::;200gque. JustierP U 1 (X=k) =. k 5 5 1 (c) Montrerque pour tout entierktel que16k6199,P(X=k) =P U (X=k). 1 3

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  2 2. Onapprochera toute variableTde loi binomialeB200;par une variableNde loi normaleN(80;48): 5

5N80 5 (a) MontrerqueP(60< T6100)P(<6). 12 48 12 (b) Utilisercette approximation pour montrer queP(60< X6100)'0;11. 5 (On donne:( )'0;66;oùest la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite) 12

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