Mathématiques 2007 Classe Prepa HEC (ECE) EM Lyon

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Examen du Supérieur EM Lyon. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2007

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 02 juillet 2007
• Nombre de lectures: 208
• Langue: Français

Extrait

EML 2007 voie Eco

Exercice 1 Onconsid`erelamatricecarre´ed’ordretroissuivante:   1 1 0 2 2 1 1   A = 0 2 2 1 1 0 2 2 1. Montrer,sans calcul, queAest diagonalisable. 2.De´terminerunematricediagonaleDeiruq´mteteystemenursveleibriatincePd,remi`eepre    −1 ligne 111 etdedeuxie`meligne 1−1 0 , telles queA=PP D. −1 CalculerP. ∗n 3.De´terminer,pourtoutn∈N,la matriceA.´eesrspatseneml´ 4. Soientu 0 , v 0 , w 0 letseuqssotilepsnulufiosisnotrosr´embreu 0 +v 0 +w 0 = 1.    u 0 u n    ∗ On noteX 0 = v 0 et, pour toutn∈N, X n = v n arlpaiefin´eednnolocecirtamal w 0 w n relationdere´currence:X n =A X n−1 . n a) Montrer,pour toutn∈N:X n =A X 0 b)End´eduire,pourtoutn∈N:     n 1 11 u n = +u 0 − − 3 32      n 1 11 v n = +v 0 − − 3 32    n 1 11   w n = +w 0 − − 3 32 c)De´terminerleslimitesrespectivesu, v, wdeu n ,v n ,w n lorsque le nombre entierntend vers l’infini. q 2 22 On note, pour toutn∈N:d n = (u n −u() +v n −v() +w n −w) 1 d) Montrer,pour toutn∈N:d n ≤ n−1 2 −2 e)D´eterminerunentiernaturelntel que :d n ≤10

Exercice 2 Pre´liminaire On donne : 0,69<ln 2<0,70. Onconside`rel’application: 2 g+: ]0;∞[→R, x7→g(x) =x+ lnx 1. Montrerqueg+est continue et strictement croissante sur ]0;∞deslimitesmrnireele[dte´etg en 0 et en +∞ 2.Montrerquel’e´quationg(x) = 0, d’inconnuex∈]0; +∞[, admet une solution et une seule. On noteαuqseu’inl´eteetecndioutol.noitauq 1 3. Montrer:< α <1 2

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Partie A   1 On noteI=,er’lpalpocsndie`1onetication: 2 1 1 2 f:I→R, x7→f(x) =x−x−lnx 4 4 1. a)Montrer quefest strictement croissante surI.   1 1 b) Montrer:< f< f(1)<1. 2 2 c)End´eduire:∀x∈I, f(x)∈I. 2.Onconside`relasuiter´eelle(u n )´dfieinperau 0 = 1 et, pour toutn∈N, u n+1 =f(u n ). n∈N a) Calculeru 1 b) Montrer:∀n∈N, u n ∈I c) Montrerque la suite (u n isroecd´ste)astn.e n∈N d) Montrerque la suite (u n r´leleeitimsteeuqtelasevnocegre)α. n∈N

Partie B Onconside`rel’application: ∗y F:R×R→R,(x, y)7→F(x, y) =x e+ylnx + 1∗ 1. a)Montrer queFest de classeCsurR×Retcalculereldse´ir´veepsraere`imerpselleitesd + ∗ Fen toutpoint (x, y) deR×R. + b) MontrerqueFa’didenumire`alaetunadmombreuqituteeniopirctonl’prexeunsuelq r´eelα. 2. Est-cequeF?admet un extremum local

EXERCICE 3 1.Onconside`rel’applicationf:R→Re´lerbrentmotruoepouefinid´xpar :  −x f(x) =esix >0 f(x) = 0six≤0 Montrer quefensit´edeprobabi´til.eetsnude Onconside`reunevariableale´atoireXadmettantfurdepo´e.nsit 2.Onde´finitlavariableal´eatoirediscr`eteYva`aurlenadssN:suivanteafalnoc¸ed ?l’´ev´nemene(tYenemenv´´el’aleg=)0se´t(tX <1) ?pour tout nombre entier strictement positifnve´l’,ene´tnem(Y=ne´enemtnst)ega´eall`ev’´ (n≤X < n+ 1).   1 −n a) Montrer,pour tout entier natureln: P(Y=n1) =−e e b)Montrerquelavariableale´atoireYealerisecr´nptodenoiruq´mte´goeeloiitun+1su parame`tre. Ende´duirel’esp´eranceetlavariancedeY.

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c)Recopieretcomple´terleprogrammeci-dessouspourqu’ilsimulelavariableale´atoireY program eml2007; var y :integer; u :real; begin randomize ; ... u :=random; y :=; while... do ... ... ... writeln(’y vaut ’, y); end. 1 3. SoitU(une variable de Bernoulli telle que PU= 1) =P(U= 0) =. 2 Onsupposequelesvariablesale´atoiresUetY.sdnepetnaontind´es Soitlavariableal´eatoireT= (2U−1)Y2seriotae´lrpdo,lesariabesvauitdU−1 etY. Ainsi,Tsdursanevunsteariableal´eatoirdesirce`eta`avelZ, l’ensemble des entiers relatifs. a)Montrerquelavariableale´atoireTaeeunetdmcnare´pseE(T) et calculerE(T) 2 2 b)Ve´rifierqueT=Y Ende´duirequelavariableal´eatoireTadmet une varianceV(T) et calculerV(T) c) Pourtout nombre entier relatifntili,(Pe´lccaerulprlaabobT=n). 4.Soitlavariableale´atoireD=X−Y. On noteF D trape´reednoitiaflndioctonD. a) Justifier:∀t∈]−∞; 0[, F D (tet :) = 0∀t∈[1; +∞[, F D (t) = 1. b) Soitt∈ne´ve´’lremirpxE;1[.[0t(enemD≤te´enemtneded´sveail’`a)s(n≤X≤n+t), n∈N c)Pourtoutnombrer´eelt∈[0; 1[ et pour tout nombre entier naturelnbaroaprlet´libiucelc,la P (n≤X≤n+t). −t 1−e d) Montrer:∀t∈[0; 1[, F D (t) = −1 1−e e) MontrerqueDesnetuiravelbae´laiotasienedunerinrmtee´D.e´tisneda`ere´tdeD.

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