Mathématiques 2007 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2007 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 14 juin 2007
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• Langue: Français

Extrait

1. EXERCICE. 1. A laide de développements limités usuels que lon rappellera clairement, montrer que lorsquexest au voisinage de0on a x2 2 ln (2e) =xx+o(x):

1. Montrerque pour tout entierksupérieur ou égal à2, on a :

1=k 2e2]0;1[: 1=k 2. Endéduire le signe deln (2e), pour tout entierksupérieur ou égal à2. 1=k 3. Quelleest la nature de la série de terme généralln (2e)? 4. Pournentier supérieur ou égal à2, on pose n X 1=k V n = ln(2e)etu n = expV n : k=2 Déterminer limV n etlimu n : n!+1n!+1 1. Montrerque   n X 1 1=k ln (nu n ln (2) =e)ln (1): k k=2 1=k 2. Déterminerun équivalent, quandktend vers+1, deln (2e) 1 ln (1): k K 3. Endéduire queu n est équivalent, quandntend vers+1, àavec n K >0. Quelle est la nature de la série de terme généralu n ? 2. Onpose n X k S n = (1)u k : k=2

1. Etudierle sens de variations de la suite(u n ) n>2 . 2. Montrer que les suites(S 2n ) n>1 et(S 2n+1 ) n>1 sont deux suites adja- centes. n 3. Endéduire la nature de la série de terme général(1)u n .

2. EXERCICE. M n (R)désigne lensemble des matrices carrées dordren>2, à coe¢ cients réels. Pour tout élémentA= (a ij ) 16i;j6n deM n (R), on appelle trace deA, et on note T r(A), la somme des éléments diagonaux, cest-à-dire : n X T r(A) =a ii : i=1

On admet queT rest une application linéaire deM n (R)dansRtelle que

8A2 M n (R);8B2 M n (R);

T r(AB) =T r(BA):

t On noteAla transposée de la matriceA. 1. Soit'lapplication dénie surM n (R) M n (R)par : t tt 8A2 M n (R);8B2 M n (R); '(A; B) =T r(AB) (oùAB=AB): Exprimer'(A; B)en fonction des coe¢ cients deAetBet montrer que' est un produit scalaire surM n (R). On noteNla norme associée à ce produit scalaire. 2. SoientA; B2 M n (R)but de cette question est de prouver que. Le

N(AB)6N(A)N(B): 1. Justierlexistence deP2 M n (R)etD2 M n (R)telles que t t P(AA)P=D oùPest une matrice orthogonale etDune matrice diagonale. On notera par la suite i le coe¢cientd ii de la matriceD= (d ij ) 16i;j6n .

2

t 2. Soitune valeur propre deAAetXun vecteur propre associé. t t En calculantX AAXde deux manières di¤érentes, montrer que>0. t t 3. OnposeS=P(B B)P= (s ij ) 16i;j6n que. Montrer

2 [N(A)] =T r(D);

2 [N(B)] =T r(S);

2 [N(AB)] =T r(SD):

4. Montrerque n X T r(SD) = i s ii : i=1 eme 5. OnnoteE i leivecteur de la base canonique deM n;1 (R), espace des matrices àncients réels.Montrer quelignes et une colonne, à coe¢ t t2 E i SE i =jjBP E i jj; oùjj:jjdésigne la norme euclidienne canonique deM n;1 (R), puis cal- t culerE i SE i en fonction des coe¢ cients deS. Quen déduit-on, pourientier compris entre 1 etn, sur le signe des ii ? 6. Montrerque  ! ! n nn X XX  i s ii 6 i s ii i=1i=1i=1 puis conclure que N(AB)6N(A)N(B):

3. PROBLEME. Le préliminaire, les parties I et II sont indépendants.

3.1. Préliminaire

On considère deux variables aléatoires à densitéXetYdénies sur un même espace probabilisé, admettant des espérancesE(X); E(Y)et des variancesV(X); V(Y). On supposeV(X)>0dénit la covariance de. OnXetYpar

Cov(X; Y) =E[(XE(X))(YE(Y))] =E(XY)E(X)E(Y):

3

1. Montrerque pour tout nombre réel,

2 V(X+Y) = V(X) + 2Cov(X; Y) +V(Y):

1. Enétudiant le signe du trinôme précédent, montrer que

2 (Cov(X; Y))6V(X)V(Y):

2. Aquelle condition nécessaire et su¢ sante a-t-on légalité

2 (Cov(X; Y)) =V(X)V(Y) ?

3.2. Partie I : Etude dune fonction de deux variables ndésigne un entier non nul,AetSdeux réels positifs ou nuls vériantS > nA. On dénit sur[0;+1[]0;+1[la fonctionL n par : 8 1 (na+S) > 1 < b L n (a; b) =esi06a6A n b > : L n (a; b) = 0sia > A

1 1. JustierqueL n est de classeCsur louvert]0; A[]0;+1[. Montrer queL n nadmet pas dextremum sur cet ouvert.

2. Montrerque

8a2[0; A[;8b2]0;+1[; L n (a; b)< L n (A; b):

Montrer que ce résultat est encore vrai pour toutade]A;+1[.

3. Soitgla fonction dénie sur]0;+1[parg(b) =L n (A; b). Montrer quegadmet un maximum absolu sur]0;+1[, atteint en un point b 0 que lon exprimera en fonction deA; S; n.

4. Déduirede ce qui précède queL n admet sur[0;+1[]0;+1[un maximum absolu atteint en un unique point(a 0 ; b 0 )que lon précisera.

4

3.3. Partie II : Etude dune loi Soita>0etb >0considère la fonction. Onf a;b dénie surRpar : 8 (xa) > 1  < f a;b (x) = e b six>a b > : f a;b (x) = 0sinon

1. Vérierquef a;b On noteest bien une densité de variable aléatoire.E(a; b) la loi associée.

On considère désormais une variable aléatoireXde loiE(a; b).

2. Déterminerla fonction de répartition deX.

3. OnposeY=Xa. Déterminerla loi deYet la reconnaître. En déduireE(X)etV(X).

p 4. Soitp2N. MontrerqueXadmet un moment dordrep,E(X), et pour p p1 p >0déterminer une relation liantE(X)etE(X).

5.Simulation de la loiE(a; b):

1. SoitUune variable aléatoire de loi uniforme sur[0;1[. Montrer que la variable aléatoirebln (1U) +asuit une loiE(a; b). 2. Onrappelle quen langage Pascal, la fonctionrandompermet de simuler une variable aléatoire de loi uniforme sur[0;1[. Ecrire, en langage Pascal, une fonctiontirage, de paramètresaetb simulant une variable aléatoire de loiE(a; b).

3.4. Partie III : Estimation des paramètresaetb aetbdésignent toujours deux réels tels quea>0etb >0. Onconsidère désormais une suite de variables aléatoires(X i ) i>1 indépendantes identiquement distribuées de loiE(a; b). Pournentier supérieur ou égal à2, on considère les variables aléatoiresS n etY n

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dénies parS n =X 1 +X 2 +  +X n etY n = min(X 1 ; X 2 ; : : : ; X n ).

Le but de cette partie est de déterminer des estimateurs deaetb.

1. Lafonctiontirage, ainsi que les variables informatiquesa,b,X,S,Yde type realeti,nde typeintegerétant supposées dénies, compléter le corps du programme principal suivant, de manière à ce quil simuleS n etY n (les valeurs étant stockées respectivement dansSetY). begin randomize ; readln(a,b,n) ; X:=tirage(a,b) ; S:=... ; Y:=...; for i:= 2 to n do... : : : : : : : : : : : : : : : : : : ... end.

2. Déterminerlespérance et la variance deS n . 3. Quelleest la loi suivie par la variable aléatoire(X 1 a) + (X 2 a) +  + (X n a)? En déduire une densité deS n . 4. Déterminerla fonction de répartition deY n . En déduire queY n suit une loiE(a n ; b n )(on préciseraa n etb n ). Donner les valeurs deE(Y n )etV(Y n ). 1. Calculerle biais ainsi que le risque quadratique deY n en tant questimateur dea. 2. Rappelerlinégalité de Markov pour une variable aléatoire admettant un moment dordre 2. A laide de ce qui précède, prouver que(Y n )est une suite destimateurs deaasymptotiquement sans biais, convergente.

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S n 5. OnposeZ n =Y n . n 1. Calculerle biais deZ n en tant questimateur deb. 2. Onnoter Z n (b)le risque quadratique deZ n que. Montrer 2 2 2b b2 r Z (b) =+Cov(S n ; Y n ): n 2 n nn 3. Alaide du préliminaire montrer que limr Z (b) = 0 n n!+1 et en déduire que(Z n )est une suite destimateurs debasymptotique- ment sans biais, convergente.

6. Pourun échantillon donné(x 1 ; : : : ; x n ), avecminfx 1 ; : : : ; x n g 6= maxfx 1 ; : : : ; x n g, correspondant à une réalisation desnvariables aléatoiresX 1 ; : : : ; X n , on dénit la fonctionLsur[0;+1[]0;+1[par

n Y L(a; b) =f a;b (x i ): i=1

1. Montrer queLest la fonctionL n dénie dans la partie I, pour des valeurs deAetSque lon précisera en fonction desx i . 2. Comparerles estimations deaetbobtenues sur léchantillon(x 1 ; : : : ; x n ) à partir deY n etZ n avec les valeursa 0 etb 0 obtenues dans la partie I.

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