Mathématiques 2008 Scientifique Baccalauréat général

Description

Examen du Secondaire Baccalauréat général. Sujet de Mathématiques 2008. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2008 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2008
• Baccalauréat général

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 19 juin 2008
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat S Pondichéry 16 avril 2008\

E X E R C IC E 1 Commun à tous les candidats

4 points

x 1.Soitfla fonction définie sur [1 ;+∞[ parf(x)=et soitHla fonction x e−1 Z x définie sur [1 ;+∞[ parH(x)=f(t) dt. 1 a.Justifier quefetHsont bien définies sur [1 ;+∞[ b.Quelle relation existetil entreHetf? ³ ´ −→−→ c.SoitCla courbe représentative defdans un repère orthonormalO,ı, du plan. Interpréter en termes d’aire le nombreH(3). 2.On se propose, dans cette question, de donner un encadrement du nombre H(3). −x xe a.Montrer que pour tout réelx>0,=x×. x−x e−1 1−e Z µ¶ µ¶ Z 3 3 1 1 ¡ ¢ −x b.En déduire quef(x) dx=3 ln1− −ln 1− −ln 1−e dx. 3 1 e e 1 µ ¶µ ¶ 1 1 −x c.Montrer que si 1 6 x 6 13, alors ln− 6 ln (1−e ) 6 ln 1−. 3 e e Z Z 3 3 ¡ ¢ −x d.ln 1En déduire un encadrement de−e dxpuis def(x) dx. 1 1

E X E R C IC E 2 Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

Partie A On suppose connus les résultats suivants :

5 points

1.Dans le plan complexe, on donne par leurs affixesz A ,z B etz C trois points A,BetC. µ ¶ ³ ´ z B −z C C Bz B −z C −→−→− Alors=et arg=C A,C B(2π). ¯ ¯ z A −z C zC A A −z C 2.Soitzun nombre complexe et soitθun réel : iθ z=et seulement sie si|z| =1 et arg(z)=θ+2kπ, oùkest un entier relatif. Démonstration de cours: démontrer que la rotationrd’angleαet de centreΩd’af ′ fixeωest la transformation du plan qui à tout pointMd’affixezassocie le pointM ′ d’affixeztel que ′iα z−ω=e (z−ω).

Partie B ³ ´ −→−→ Dans un repère orthonorrnal direct du plan complexeO,u,vd’unité graphique 2 cm, on considère les pointsA,B,CetDd’affixes respectives p z A = −3−i,z B =1−i 3,z C =3+i etz D = −1+i 3. 1. a.esDonner le module et un argument pour, chacun des quatre nombr complexesz A ,z B ,z C etz D .

Baccalauréat S

b.Comment construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetDdans ³ ´ −→−→ le repèreO,u,v? c.Quelle est la nature du quadrilatèreABC D? π 2.On considère la rotationrde centre B et d’angle−. SoientEetFles points 3 du plan définis par :E=r(A) etF=r(C). a.Comment construire à la règle et au compas les pointsFetEdans le repère précédent ? b.Donner l’écriture complexe der. c.Déterminer l’affixe du pointE.

E X E R C IC E 2 5points Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Partie A On suppose connu le résultat suivant : Une applicationfdu plan muni d’un repère orthonormal direct dans luimême est une similitude directe si et seulement sifadmet une écriture complexe de la forme ′ ∗ z=a z+b, oùa∈Cetb∈C.

′ Démonstration de cours: on se place dans le plan complexe. Démontrer que siA,B,A ′ ′′ etBsont quatre points tels queAest distinct deBetAest distinct deB, alors il ′ ′ existe une unique similitude directe transformantAenAetBenB. Partie B ³ ´ −→−→ Dans le plan complexe muni d’un repère orthonomal directO,u,von considère les pointsA,B,C,Dd’affixes respectives p z A = −3−i,z B =1−i 3,z C =3+i etz D = −1+i 3. 1. a.Donner le module et un argumentde chacun des quatre nomlres com plexesz A ,z B ,z C etz D . b.Construire à la règle et au compas les pointsA,B,CetD(on prendra pour unité graphique 2 cm). c.Déterminer le milieu du segment [AC], celui du segment [B D]. Calculer z B le quotient. En déduire la nature du quadrilatèreABC D. z A π ′ −i 3 2.On considère la similitude directegdont l’écriture complexe estz=ez+2. a.Déterminer les éléments caractéristiques deg. b.Construire à la règle et au compas les images respectivesE,FetJparg des pointsA,CetO. c.Que constateton concernant ces pointsE,FetJ? Le démontrer.

E X E R C IC E 3 Commun à tous les candidats

On considère un tétraèdreABC D. On noteI,J,K,L,M,Nles milieux respectifs des arêtes [AB], [C D], [BC], [AD], [AC] et [B D]. On désigne parGl’isobarycentre des pointsA,B,CetD.

Pondichéry

2

A

D

B

4 points

C

16 avril 2008

Baccalauréat S

1.Montrer que les droites (I J), (K L) et (M N) sont concourantes enG.

Dans la suite de l’exercice, on suppose queAB=C D,BC=ADetAC=B D. (On dit que le tétraèdreABC Dest équifacial, car ses faces sont isométriques). 2. a.Quelle est la nature du quadrilatèreJ LI K? Préciser également la nature des quadrilatèresI M J NetK N LM. b.En déduire que (I J) et (K L) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (I J) et (M N) sont orthogonales et les droites (K L) et (M N) sont orthogonales. 3. a.Montrer que la droite (I J) est orthogonale au plan (M K N). −→−−→ b.Quelle est la valeur du produit scalaireI J∙M K? En déduire que (I J) est orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (I J) est orthogonale à la droite (C D). c.Montrer queGappartient aux plans médiateurs de [AB] et [C D]. d.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’ini tiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Comment démontreraiton queGest le centre de la sphère circonscrite au tétraèdreABC D?

E X E R C IC E 4 7points Commun à tous les candidats On cherche à modéliser de deux façons différentes l’évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l’an née.

Les parties A et B sont indépendantes

Partie A : un modèle discret Soitu n le nombre, exprimé en millions, de foyers possédant un téléviseur à écran plat l’annéen. On posen=0 en 2005,u 0 =1 et, pour toutn > 0, 1 u n+1 =u n (20−u n ) . 10 1.Soitfla fonction définie sur [0 ; 20] par 1 f(x)=x(20−x). 10 a.Étudier les variations defsur [0 ; 20]. b.En déduire que pour toutx∈[0 ; 20],f(x)∈[0 ; 10]. c.On donne enannexela courbe représentativeCde la fonctionfdans un repère orthonormal. Représenter, sur l’axe des abscisses, à l’aide de ce graphique, les cinq pre miers termes de la suite (u) . n n > 0 2.Montrer par récurrence que pour toutn∈N, 0 6 u n 6 u n+1 6 10. 3.Montrer que la suite (u) estconvergente et déterminer sa limite. n n > 0 Partie B : un modèle continu Soitg(x) le nombre, exprimé en millions, de tels foyers l’annéex. On posex=0 en 2005,g(0)=1 etgest une solution, qui ne s’annule pas sur [0 ;+∞[, de l’équation différentielle

Pondichéry

3

16 avril 2008

Baccalauréat S

1 ′ (E) ;y=y(10−y) 20 1 1.On considère une fonctionyqui ne s’annule pas sur [0 ;+∞[ et on posez=. y a.Montrer queyest solution de (E) si et seulement sizest solution de l’équation différentielle : 1 1 ′ (E 1 ) :z= − z+. 2 20 b.Résoudre l’équation (E 1 ) et en déduire les solutions de l’équation (E). 10 2.Montrer quegest définie sur [0 ;+∞[ parg(x)=. 1 −x 2 9e+1 3.Étudier les variations degsur [0 ;+∞[. 4.Calculer la limite degen+∞et interpréter le résultat. 5.En quelle année le nombre de foyers possédant un tel équipement dépassera til 5 millions ?

Pondichéry

4

16 avril 2008

14 13 13 12 12 11 11 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 0 -4 -3 -2 --1 −4−3−2 −1 -2 −2 -3 −3

Pondichéry

ANNEXE

À rendre avec la copie

Baccalauréat S

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

5

16 avril 2008