Mathématiques I 1999 Classe Prepa B/L HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques I 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 1999
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 64
• Langue: Français

Extrait

CHAMBRE DE COMMERCE ET D’INDUSTRIE DE PARIS DIRECTION DE L’ENSEIGNEMENT Direction des Admissions et concours

ECOLE DES HAUTES ETUDES COMMERCIALES E.S.C.P.-E.A.P. ECOLE SUPERIEURE DE COMMERCE DE LYON

CONCOURS D’ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION BL MATHEMATIQUES I

Lapre´sentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelar´edaction,laclart´eetlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvit´esa`encadrerdanslamesuredupossiblelesr´esultatsdeleurscalculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’unere`glegradu´eeestautorise´e.

Ond´esiretestersilare´partitiondesvoyellesdansuntexteanciencorrespond`acelledelalanguefranc¸aiseactuelle. One´tudiequelquesaspectsprobabilistespermettantder´epondrea`cettequestion. Lesparties1et2sontinde´pendantes.Lapartie3utiliselesnotationsetlesre´sultatsdespartiespre´c´edentes.

Notation SiXetYiablxvartdeusonnoonte`ecrs,teeriosidslasetae´cov(X, Y) leur covariance, si celle-ci existe.

Partie 1 Soientnetsonternecuneu`eredsceuoeledbsantnsurleouseneitredrseu´eouupssri´eocnOdisnxuag.2a`C 1 , .., C s . s P Les boules de couleurC i sont en proportionp i . On a doncp i = 1 et on suppose que, pour touti,p i >0. i=1 On effectuentirages successifs d’une boule avec remise. Pour toutide{1, .., s}, on noteX i aelbae´lvalairaurleeldsceuorbdebeuoaleaunomtoire´egC i `aesnuteob l’issue desntirages (on remarque que la variableX i d´ddnpeeenavtliaareableal´.)´dnOinfieotrieU n par : 2 s P (X i −np i ) U n = . np i=1 i A. Etude des variablesX i. 1.De´terminerlaloideX i ,eranesp´scea.vacreieatnsno 2 2. Soit(i, j)∈ {1, .., s}tel quei6=jinrmte´e.DediolalreX i +X j et sa variance. End´eduirequecov(X i , X j ) =−np i p j .

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B. On suppose dans cette partie ques= 2. X 1 −np 1 2 U=Zo` 1. Montrerque n 1 uZ 1 = √ . (On utilisera la relation :X 1 +X 2 =n). np 1 p 2 2. Parquelle loi peut-on approcher la loi deZ 1 lorsquenest grand? 1 1 C. On suppose dans cette partie ques= 3et quep 1 =p 2 =etp 3 =. 4 2 r   2n2 On poseZ 1 = √ X 3 −etZ 2 = (X 1 −X 2 ). n 2n 2 2 1. MontrerqueU=Z. (On utili n Z 1 + 2 sera la relation :X 1 +X 2 +X 3 =n). 2.De´terminerlesespe´rancesetvariancesdeZ 1 etZ 2 etcov(Z 1 , Z 2 ). 3. Parquelle loi peut-on approcher celle deZ 1 lorsquenest grand? 4. Pourime´edentel´{1, .., n}fin´end,oiravaltielbaT i par :T i = 1 si auiouebdeleemet`oeanrigaunnuboet e`me e`me couleurC 1 ,T i =−1 si auitirage on a obtenu une boule de couleurC 2 ,T i = 0 si auitirage on a obtenu une boule de couleurC 3 . (a) ExprimerX 1 −X 2 dediavse`a’laabrisleT i . (b)Ende´duirequel’onpeutapprocherlaloideZ 2 , quandnlaioonmrna,daplrestgr.etier´edu´eecaltren 1 D. On supposes= 4etp 1 =p 2 =p 3 =p 4 =. 4 X i −np i 1. Pouri´lmee´etden{1,2,3,4}, on poseY i = √ . np i On noteMicecarr´eed’ordralamrtnlteneigod4eeltnffieocneiciet colonnejvautcov(Y i , Y j d´efi).Onnit 1 Nonssegt´ffilcaomeantie`xua.antdoe4drscleustoracecirtro’dee´r 4 ExprimerMen fonction deNetI,`ouIe.t´nieuictrmasegienal´d 2. 4 (a)Onde´finit4vecteursdeR: 1 11 1 e 1 = √ (1,−1,0,0), e 2 = √ (1,1,−2,0), e 3 = √ (1,1,1,−3), e 4 = (1,1,1,1). 2 62 3 2 4 Montrer que ces 4 vecteurs sont des vecteurs propres deNet qu’ils forment une base deR. 4 (b) SoitQla matrice de passage de la base canonique deR(sebala`ae 1 , e 2 , e 3 , e 4 ). t t Montrer queQQ=I. (Qtaarsnope´isngledees´deQ). t Expliciter la matriceQM Q.    Z 1 Y 1 Z 2 t Y 2  3.Onde´finitlesvariablesZ 1 , Z 2 , Z 3 etZ 4 par :=Q.    Z 3 Y 3 Z 4 Y 4 (a) ExprimerchaqueZ i en fonction deY 1 , Y 2 , Y 3 etY 4 et montrer queZ 4 = 0. (b) Montrerque, pouri= 1,2,3, les variablesZ i .s´reeectnostn   Y 1 2 2 2 Y 2   (c +Z+Zn pou ) MontrerqueU n =Z 1 2 3 rra calculer (. ( OY 1 , Y 2 , Y 3 , Y 4 .) )   Y 3 Y 4

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Partie 2 1. Soitrun entier naturel non nul. +∞ Z r x −1− 2 2 (a)Montrerlaconvergencedel’inte´graledxx e. On noteJ r sa valeur. 0 (b) Montrerque pour tout entierrnon nul,J r+2 =rJ r . 2. (a) SoitYnu´etr´eeritdue.uassrigeceneeinniablevareatoeal´ 2 2 De´terminerlafonctionder´epartitiondelavariableal´eatoireYet montrer queYadmetunedisnee´t quel’onde´terminera. (b)End´eduirelavaleurdeJ 1 . 3. Soitrefid´Onl.onaftlniutanreitunnonlerunenctionf r par : r x 1 −1− 2 2 ∀x >0, f r (x) =x e∀x60, f r (x) = 0. J r (a) Montrerquef r see´.litibobadeprit´edenstune 2 Onditqu’unevariableale´atoireXsuit la loi duχx)eul(`akerid-ihrilebtre´isteesluementdr´egdees siXadmetf r isnedruo.e´tp (b)Quelleloireconnaıˆt-onpourr?= 2 (c)Recopierlegraphiqueci-dessousenidentifiantlescourbesrepre´sentativesdestroisfonctionsf 1 , f 2 , f 7 ,enjustifiantavecpre´cisionlar´eponse. 2 (d) SoitXtlalivanoidulavaei´rubaeenlerustaioχ`artron.M´eequerse´rgedtrebiledXadmet une esp´eranceetunevarianceetdonnerleurvaleur.

Partie 3 On reprend les notations de lapartie 1,snaut´teal`a2.ge´uorueire´pusequonlcuerqientne 2 On admet que,nrgna,dale´attner´ealoiatrivaleabU n suit la loi duχa`sed1-ledse´rge.t´erib Leslinguistesontd´etermin´elar´epartition,danslalanguefran¸caiseactuelle,desvoyellesa,e,i,o,u,parmi l’ensemble de ces voyelles : p 1 = 0,1743 de a p 2 = 0,4031 de e p 3 = 0,1641 de i p 4 = 0,1212 de o p 5 = 0,1373 de u. Dansunextrait(comportant1145voyellesa,e,io,u)d’untextedePascal,“Usagedutrianglearithme´tiquepour lescombinaisons”(confer“Trait´edutrianglearithme´tique”1654),onobservelesfre´quences: q 1 = 0,1476 de a q 2 = 0,4105 de e q 3 = 0,1607 de i q 4 = 0,1476 de o q 5 = 0,1336 de u. Oncherche,`al’aidedecetextrait,a`mettreene´videncel’e´volutiondesfre´quenceslexicalesdelalanguefran¸caise. Pourcelaonfaitl’hypothe`se,acontrario,quelesfr´equencesdesvoyellesdansuntexte,parmil’ensembledes i`eme i`eme voyelles,sontlesmeˆmesau17si`ecleetau20si`ecle. Ondonnelesvaleursnume´riquessuivantes: 2 – 0,975 =F 4 (11,`ou41,)F 4 itioparter´eiondnotclefaisngde´udiolalednχ´ertbelideesr´egd4a`,

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