Mathématiques I 2000 Classe Prepa B/L ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques I 2000. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2000 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2000
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 158
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS DADMISSION

Option lettres et sciences humaines

Epreuve E.N.S. B/L

MATHEMATIQUESI

Année 2000

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.

On considère un combat entre trois tireurs A, B, C, qui se déroule en une suite dépreuves de la façon suivante, jusquà élimination dau moins deux des trois tireurs :

Tous les tirs sont indépendants les uns des autres.

Lorsque A tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 2/3. Lorsque B tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 1/2. Lorsque C tire, la probabilité pour quil atteigne son adversaire est égale à 1/3. Lorsque quun des tireurs est atteint, il est dénitivement éliminé des épreuves suivantes. À chacune des épreuves, les tireurs non encore éliminés tirent simultanément et chacun deux vise le plus dangereux de ses rivaux non encore éliminés. (Ainsi, à la première épreuve, A vise B tandis que B et C visent A): Pour tout nombre entiern>1, on considère les événements suivants : ieme ABC n : à lissue de lanépreuve, A, B et C ne sont pas encore éliminés . ieme AB n à lissue de la: népreuve, seuls A et B ne sont pas encore éliminés . On dénit de façon analogue les événementsBC n etCA n . ieme A n : à lissue de lanépreuve, seul A nest pas éliminé . ieme ; n à lissue de la: népreuve, les trois tireurs sont éliminés . Enn,ABC 0 est lévénement certain,AB 0 ,BC 0 ,CA 0 ,B 0 ,C 0 ,; 0 , lévénement impossible.

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PARTIE 1 On établit dans cette partie 1 quelques résultats probabilistes préliminaires. 1. Calculde probabilités.

(a) Exprimer,si U et V désignent deux événements quelconques dun espace probabilisé donné, la proba- bilitéP(U[V)de lévénementU[Ven fonction deP(U),P(V)etP(U\V). (b) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C :

(A rate son tir) et (B ou C réussissent leur tir).

(c) Endéduire la probabilité pour quà une épreuve à laquelle participent A, B, C :

(A réussit son tir) et (B ou C réussissent leur tir).

2. Déterminationde probabilités conditionnelles.

(a) Montrerque lévénementAB n est impossible pour tout nombre entier natureln: Dans la suite, on ne considérera donc que les événementsABC n ,BC n ,CA n ,A n ,B n ,C n ,; n (b) Expliciterla probabilité conditionnelleP(ABC n+1 =ABC n ). (c) ExpliciterP(BC n+1 =ABC n )à laide de la question l, puis donnerP(CA n+1 =ABC n ). (d) ExpliciterP(A =ABC),P(B =ABC)etP(C =ABC). n+1n n+1n n+1n (e) ExpliciterP(A n+1 =CA n ),P(B n+1 =BC n ),P(C n+1 =CA n )etP(C n+1 =BC n ). (f) ExpliciterP(; n+1 =ABC n ),P(; n+1 =BC n )etP(; n+1 =CA n ).

3. Nombremoyen dépreuves à lissue desquelles sachève le combat. On noteTla variable aléatoire indiquant le nombre dépreuves à lissue duquel cesse le combat, cest à dire au delà duquel il ne reste quun tireur au plus.

(a) Quelleest la probabilité de lévénementT= 1? (b) Soitn>2. Calculerla probabilité de lévénement suivant :

ABC\ABC\    [ABC\ABC : l 2n1n

(c) Soitn>2. Calculerla probabilité de la réunion des événements suivants pour06k6n1.

ABC l \ABC 2 \    \ABC k \CA k+1 \    \CA n :

(pourk= 0, il sagit de lévénementCA l \CA 2 \    \CA n ) (d) Soitn>2la probabilité de la réunion des événements suivants pour. Calculer06k6n1:

ABC l \ABC 2 \    \ABC k \BC k+1 \    \BC n :

(pourk= 0, il sagit de lévénementBC l \BC 2 \    \BC n ) (e) Soitn>2. Calculerla probabilitéP(T >n)pour que le combat ne soit pas terminé à lissue de la ieme népreuve, et en déduire la probabilitéP(T=n)(on vériera que cette formule redonne bien pour n= 1le résultat obtenu à la question a). (f) Vérierque la somme de la série de terme généralP(T=n)(avecn>1) est égale à1, puis déterminer sous forme de fraction irréductible lespéranceE(T)de la variable aléatoireT:

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PARTIE II Dans cette partie, on détermine les probabilités pour que A, B, C remportent le combat. 1. Expressionde la matrice de transition M. (a) Onconsidère la matrice-colonneE n à sept lignes dont les sept éléments sont dans cet ordre, du haut vers le bas, P(ABC); P(BC); P(CA); P(A); P(B); P(B); P(;): n n nn n nn Expliciter une matriceMcarrée dordre 7 vériant pour tout nombre entier natureln: E n+1 =M E n On vériera que la somme de chacune des sept colonnes de cette matriceMest égale à 1. (b) EndéduireE n en fonction den,MetE 0 : 2. Calculdes puissances de la matrice M. 0 00 (a) Onconsidère deux matrices carrées dordre 3 notéesU,Uet deux matrices rectangulaires à 4 lignes 0 00 et 3 colonnes notéesV,Vet lon forme les matrices carrées dordre 7 :    0 00 U OU O 0 M= ;M 0 00 V I 4 V I 4 oùOdésigne la matrice nulle à 3 lignes et 4 colonnes etI 4 la matrice-identité dordre 4.   0 00 U UO 0 00 Vérier à laide des règles du produit matriciel légalité suivante :M M= 0 0000 V U+V I 4   U O (b) Expliciterles matricesUetVtelles que :M= V I 4   U O n (c) Établirenn par récurrence surn>1 légalité suivante :M= n1 V+V U+  +IV U 4 3. Diagonalisationde la matrice U. (a) Déterminerles valeurs propres l , 2 , 3 deUavec l <  2 <  3 et les vecteurs propres associésV l ,V 2 , V 3 tels que : la première composante deV l vaut 1. la troisième composante deV 2 vaut 1. la deuxième composante deV 3 vaut 1. (b) OnnotePla matrice dordre 3 dont les vecteurs-colonnes sont, dans cet ordre,V l ,V 2 ,V 3 . 11 Expliciter la matrice inversePet préciser la matriceD=PP U. 4. Calculde la limite des puissances de la matrice M.

n2n1 (a) Expliciterles matricesDetI 3 +D+D+  +D : (b) Ondit quune suite de matrices(X n )àplignes etqcolonnes converge vers une matriceXàplignes etqcolonnes si chaque coe¢ cient de la matriceX n converge quandntend vers +1vers le coe¢ cient correspondant de la matriceX: On admettra (sous réserve dexistence) que la limite dun produit est le produit des limites. n Expliciter à laide des résultats précédents les limites des deux suites matricielles (D)et(I 3 +D+ 2n1n2n1 D+  +D)puis des trois suites matricielles (U),(I 3 +U+U+  +U)et(V+V U+ 2n1 V U+  +V U): n (c) Endéduire enn les limites des deux suites matricielles (M)et (E n ): (d) Vérierque les suitesP(ABC n ),P(BC n )etP(CA n )convergent vers 0 et expliciter sous forme dune fraction irréductible les limites des suitesP(A n ),P(B n ),P(B n ),P(; n ). Comparer les probabilités respectives pour que A , B , C remportent le combat.

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