Mathématiques I 2001 Classe Prepa HEC (ECS) European School of Management

Description

Examen du Supérieur European School of Management. Sujet de Mathématiques I 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques indiennes
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 97
• Langue: Français

Extrait

E.S.C.P. - E.A.P. 2001, math 1, option scientifique.

L’objetduprobl`emeestl’´etude,danscertainscas,dessous-espacesstablesparunendomorphisme d’un espace vectoriel. Danstoutleproble`me,onconsid`ereunentiernaturelnnon nul et on noteEleR-espace vectoriel n R. On note 0 E le vecteur nul deEetId E ihpriemstnede´tideenl’modoE. On dira qu’un sous- espace vectorielFdeEest stable par un endomorphismefdeE(ou queflaisse stableF) si l’inclusionf(F)⊂F.eese´etvfi´ri Onobserveraquelesous-espacevectorielre´duita`{0 E }etEabstntsomeˆe-muilturaotelps endomorphisme deE. On noteR[Xoeacs`mesrntieffic,teslee´tuotruop]l’eevecspacleedotirnyoˆpsloentiernaturelk, on noteR k [Xsp-eevactoecelrimrofape´selr´le´stedmene]elossuR[Xuqsi]rueirnf´er´eiedegontd oue´gala`k. 0 12 3 Sifest un endomorphisme deEon posef=Id E ,f=f,f=f◦f,f=f◦f◦f, etc. n X k Sifest un endomorphisme deEet siP=a k Xtseme´le´nueentdR[X], on rappelle qu’on k=0 n X k noteP(f´Eedlagea`’e)lomndphormeisP(f) =a k f. k=0

PartieI:Pr´eliminaires

Soitfun endomorphisme deE. 1)SoitPundtemenee´´lR[X]. Montrer que le sous-espace vectoriel KerP(f) est stable parf. 2)a)Montrer que les droites deEstables parfsontectleelqsaxtcmenendgeeer´souienntraps un vecteur propre de l’endomorphismef. 3 3 b)On noteB= (e 1 , e 2 , e 3 ) la base canonique deRcnnois`drelee’dnoomtoerphismegdeR dont la matrice dans la baseBest   1 1 0   B1 0= 0 0 0 2 3 De´terminer(enendonnantunebase)lesdroitesdeRstables parg. 3)Soitpun entier naturel non nul. a)SiF 1 , . . . , F p sontpsous-espaces vectoriels deEstables parf, montrer qu’alors la somme p X F k est un sous-espace vectoriel stable parf. k=1 b)Siλ 1 , . . . , λ p sontpvaleurs propres defet sin 1 , . . . , n p sontpentiers naturels montrer p X n k qu’alors la sommeKer(f−λ k Id E ) eststable parf. k=1 4)a)Soitaleuerqfieri´e.Velcevsecapse-suossetorielsdrne´uEstables par un endomorphisme fsont exactement ceux qui sont stables par l’endomorphismef−λId E . b)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un endomorphismefet ceux 2 qui sont stables par l’endomorphismef? c)Quel lien y-a-t-il entre les sous-espaces vectoriels stables par un automorphismefet ceux −1 qui sont stables par l’endomorphismef? d)Que dire d’un endomorphisme deElaissant stable tout sous-espace vectoriel deE? 2 e)Donner un exemple d’endomorphisme deRne laissant stable que le sous-espace vectoriel 2 r´eduitauvecteurnuletl’espaceR. 5)a)e´ialenireruslequppelform’unearnOEeriae´niseedplapnetunlioaticEdansRet qu’un hyperplan deEest un sous-espace vectoriel deEde dimensionn−1.

Montrer que les hyperplans deEllunsereaionsnslme´einuadxferotnelnsyoexactemesont surE.Ouopnabenunenedesd’unbaserplahypemolprrcaurene´etE. b)Soitϕneuinelrmfore´iaeronnnluelusEetH= Kerϕ. i.Montrer que l’hyperplanHest stable parfntiitsenemulseetsieme´le´nuetsixelλde Rantlerifiv´e´:lati´’geϕ◦f=λϕ. ii.On noteAla matrice defbasecanoment`alaalerevitinuqdeeEetLla matrice (ligne) deϕrelativement aux bases canoniques deEetR. Montrer que l’hyperplanHest stable parfnestiielixtsuern´eelsiseetemulλv´erifiant t tt l’e´galit´eA L=λ L. 3 c)nenennodutnaaben)lseplessdaneD´eterminer(Rstables par l’endomorphismegfinid´e a`laquestion2).

PartieII:Lecasou`l’endomorphismeestdiagonalisable

Danscettepartie,onconside`reunendomorphismefdeEdiagonalisable et on noteλ 1 , . . . , λ p ses valeurs propres distinctes etE 1 , . . . , E p les sous-espaces propres correspondants. 1)Que dire des sous-espaces vectoriels deEstables parfsip= 1 ? 2)On suppose l’entierpirleacevectosous-espe`dinuernO.2snocegs´`aalauinmoFdeEstable parfteneml´´eunetxdeF. p Y a)(emtnlee´uq´enunied’utencexis’lrefiitsuJx 1 , x 2 , . . . , x p ) deE k :e´tilag´erivl’´efiant k=1 p X x=x k . k=1 p X b)Montrer que le vecteur(λ k −λ 1 )x k edtest´el´emenF. k=1 c)Montrer que les vecteursx 1 , . . . , x p sont tous dansF. 3)deleudriDe´´eecr´npiostueaq-suosseleuqetnedectorielespacesvdseEstables parfsont p X exactement les sous-espaces vectoriels de la formeF k o`tourpou,itretuneksntleirafive´ k=1 in´egalit´es1≤k≤p,F k est un sous-espace vectoriel deE k . 4)Montrer que l’endomorphisme induit parfsur l’un de ses sous-espaces vectoriels stablesF est un endomorphisme diagonalisable deF. 5)nnoDetensutslffirusaesctenspeearsoraitrdoiptrieosndne´vearluenuercsopnfpour que Esopde`sniefisodenneubromtcroseevpscasue-arlespstabielsf. Quel est alors ce nombre ?

PartieIII:Lecaso`ul’endomorphismeestnilpotentd’ordren

1)On noteDl’endomorphisme deR n−1 [Xui`a]qopylottueˆnmoPonescisoomnˆlypo´vire´desae 0 P. n n−1 a)efi´iVreuqreDest l’endomorphisme nul et queDne l’est pas. b)erifierquV´delsieorctvesecapse-suosseleR n−1 [X] stables parDsont, en dehors du sous-espacevectorielre´duitaupolynoˆmenul,lesnsous-espaces vectoriels suivants : R 0 [X],R 1 [X], . . . ,R n−1 [X]. 2)On note0l’endomorphisme nul deEernudie`ocsntenoehismmorpendofdeEnilpotent n n−1 d’ordrenltseocdn´vrefiinaitions:redia--`st’e,cf=0etf6=0. 2

´ a)Etablir qu’il existe une baseB= (e 1 , e 2 , . . . , e n ) deEdans laquelle la matriceAdefest   0 10. . .0 . . 0 0 1 . . . . . . . . A= . . . . 0   .  .  . . 0 1 0. . .. . .0 0 Aest donc la matrice dont le coefficient de la ligneiet de la colonnej(1≤i≤n,1≤j≤n) vaut 1 sij=iet 0 sinon.+ 1 b)Montrer que la matriceAsembestecirtamala`elbalBsuivante   0 10. . .0 . . 0 0 2 . . . . . . . . B= . . . . 0   .  .  . . 0 n−1 0. . .. . .0 0 Best donc la matrice dont le coefficient de la ligneiet de la colonnej(1≤i≤n,1≤j≤n) vautisij=iet 0 sinon.+ 1 c)antnnubee(endnnoous-espaase)lessedsleirotcevsecrmteerin´eDEstables parf.

PartieIV:Lecasou`l’endomorphismeestnilpotentd’ordre2 Danscettepartieonconsid`ereunendomorphismefdeEintdenotlp2crerd’oida`tse’nuer endomorphisme non nul deEtel quef◦fest l’endomorphisme nul. 1)ereusid`nconOlieortcevecapse-suosnF 2 deEifierv´natF 2 ∩Kerf={0 E }. a)Justifier l’inclusion :f(F 2 )⊂Kerf. b)tcroeceveilsunsepluespaous-d`siederOonncF 1 de Kerfcontenantf(F 2 ). Montrer que la sommeF 1 +F 2 est directe et que c’est un sous-espace vectoriel deEstable parf. ´ c)e´nnodtnatEA,B,Ctrois sous-espaces vectoriels deEoisu:ninclirl’tabl,´e (A∩C) + (B∩C)⊂(A+B)∩C A-t-onne´cessairementl’´egalite´? d)rlnemierseernt’i(noDi´tectF 1 +F 2 )∩Kerf. 2)ounsess-cepactveeirolR´ecquemiprocnnoneotreueis`dFdeEstable parf. On pose F 1 =F∩Kerfnseus-oupaesvecerotcleieotcnnois`dreF 2 mentairedepuse´lpF 1 dans F. V´erifierl’inclusionf(F)⊂Kerfet prouver que l’intersectionF 2 ∩Kerfdeiuts´reetua vecteur nul. 4 3) Danscette question, on suppose que l’entiern`a4(i.e.est´egalE=R`disnocnote)eer 4 l’endomorphismehdeEdont la matrice dans la base canoniqueB= (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) deR est la matriceMsuivante   1 1 0 0  0 1 0 0  M=   0 0 2 1 0 0 0 2 2 2 a)seosuqlepscasue-ifierV´erorctveeslsieG 1 = Ker(h−Id) etG 2 = Ker(h−2Id) sont suppl´ementaires. b)Montrer que les sous-espaces vectoriels stables parhsont exactement les sommesH 1 +H 2 ou`H 1 (resp.H 2 ) est un sous-espace vectoriel deG 1 (resp.G 2 ) stable parh. c)elsde´eteDree(mrninoanendnunntaseblee)oussse-secapcevsirotEstables parh. 3