Mathématiques I 2002 Classe Prepa PC Concours Mines-Ponts

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Concours du Supérieur Concours Mines-Ponts. Sujet de Mathématiques I 2002. Retrouvez le corrigé Mathématiques I 2002 sur Bankexam.fr.

Sujets

ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES. ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L’AÉRONAUTIQUE ET DE L’ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE. ÉCOLE POLYTECHNIQUE (Filière TSI).

CONCOURS D’ADMISSION 2002

ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES PREMIÈRE ÉPREUVE Filière PC (Durée de l’épreuve:3 heures) (L’usage d’ordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis à la disposition des concours : Cycle International, ENSTIM, INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont priés de mentionner de façon apparente sur la première page de la copie : MATHÉMATIQUES 1-Filière PC. Cet énoncé comporte 5 pages de texte. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.

SoitFla somme de la série entière réelle de terme général 2n x unx,n0, 1, 2, ...; 2 n! cette fonctionFest définie par la relation suivante :  2n x Fx.  2 n! n0 Le but de ce problème est de rechercher une fonction équivalente à la fonctionFà l’infini.

Première partie

I.1 Définition de la fonctionF: Déterminer l’ensemble de définition de la fonctionF. Étudier les variations de la fonctionF et la convexité de son graphe.

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I.2 Encadrement de la fonctionF: Soientvet essuites r�elles d�finies par les relations suivantes : n nNwnl nN 2 2   n!nn!n vn4 ;wn4 ;n0, 1, 2,,0!1. 2n! 2n1 ! a. D�montrer que la sst monotone croissante. En d�duire l'in�galit�suivante : uitevnne N n 1 4 ;n0, 1, 2,. 2 n!2n! En d�duire une majoration, sur la demi-droite ferm�e0,, de la fonctionFl' aidede la fonctionxch2x. b. D�montrer de même une minoration, sur la demi-droite ouverte0,, de la fonctionF l' aidede la fonctionxsh2x/2x. Pour tout r�elxstrictement positif, soitGxla moyenne g�om�trique des r�elsch2xet sh2x/2x. Soit0,la fonction d�finie, sur la demi-droite ouverte, par la relation suivante : 2x e x. x c. Comparer les deux fonctionsGetl' infini.

Deuxi�me partie

Dans la suite il sera utile de consid�rer la transformationLsuivante (dite de Laplace). À une fonctionfdonn�etft0,, d�finie et continue sur la demi-droite ouverte, int�grable sur tout intervalle semi-ouvert0,a, (aest un r�el positif quelconque), la transformationLassocie la fonctionLfqui, si elle existe, est d�finie par la relation suivante :  x t Lfxfte dt. 0

II-1.Exemples:transformes de Laplace des fonctionsFet: a. Un r�sultat pr�liminaire : soitxun r�el strictement positif donn�x0; calculer pour tout entier naturelkkNint�grale, l'Iksuivante :  kx t Ikdtt e. 0

x t b. D�montrer que la fonctiontFteest int�grable sur la demi-droite ferm�e0, ds que le r�elxest strictement sup�rieur 2x2. D�terminer la fonctionLFen calculant LFxau moyen de la somme d' une s�rie.  x t LFxFte dt. 0

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c. Soitgla somme d'une s�rie entire d�finie par la relation suivante :  2n!2n t. gt2 n! n0 D�terminer l'intervalle ouvertR,Rde d�finition de la fonctiong. D�terminer au moyen de fonctions �l�mentaires l'expression degten utilisant par exemple le d�veloppement en s�rie entire de la fonction 1 u. 1u

d. En d�duire l'expression, pour tout r�elxsup�rieur strictement 2, de la transform�e de Laplace de la fonctionF. e. D�terminer, en pr�cisant son ensemble de d�finition, la transform�e de Laplace de la fonction, d�finiepourt0 par la relation suivante : 2t e t. t  2 t Le r�sultat ci-contre est admis:e dt. 02

II-2.Une propri�t�de la transformation de Laplace: tant donn�e une fonctionf0,d�finie et continue sur la demi-droite ouverte, int�grable sur tout intervalle semi-ouvert0,a, (aest un r�el positif quelconque), soitIfl' ensembledes x t r�elsxpour lesquels la fonctiontfte0,est int�grable sur la demi-droite ouverte: x t Ifxtfte0,est int�grable sur.

a. D�montrer que si le r�elx0ensembleappartient l'If, alorsla demi-droite ferm�e x0,est contenue dansIf.

SoitEdes fonctionsl' ensemblef, consid�r�esensembleci-dessus, dont l'Ifni vide nin' est �gal toute la droite r�elleIf etIfR.

b. D�montrer que, pour toute fonctionfappartenant l'ensembleE, l'ensembleIfadmet une borne inf�rieuref: finfxxIf. En d�duire que l' ensembleIfest la demi-droite ouvertef,ou la demi-droite ferm�ef,.

c. D�montrer que, pour toute fonctionfappartenant E, la fonctionxLfxest continue sur la demi-droite ouvertef,. D�montrer que, si la fonctionfest positive, la fonctionLfest d�croissante ; en d�duire que, sifappartient If, la fonctionLfest born�e sur la demi-droite ferm�ef,.

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d. Soitgensembleune fonction positive appartenant �l'E, dont la transforme de Laplace Lgest borne sur la demi-droite ouverteg,. Dmontrer les proprits suivantes : i/ il existe une constante positiveM, telle que, pour tout relxstrictement suprieur �g xget tout rel positifA: A x t gte dtM. 0 ii/ En dduire que la transforme de Laplace de la fonctiongest dfinie sur la demi-droite fermeg,. II-3.Comparaison des transform�es de Laplace de deux fonctions �quivalentes: Soientgethdeux fonctions, positives, appartenant �l' espaceE. Ces deux fonctions sont supposes croître vers l' infini lorsque le relttend vers l' infini et être quivalentes �l' infini gh. a. Dmontrer que les deux relsgethsont gaux. b. Icihn' appartientpas �Ih. Quelle conclusion y-a-t-il lieu d'en tirer surLhx lorsque le relxtend versh(par valeurs suprieures) ? Dmontrer que, pour tout rel positif , il existe un relAtel que, pourtsuprieur �A, il vienne l'ingalit:  |gtht||ht|. 2 En dduire l' ingalitci-dessous, pour tout relxappartenant �la demi-droite ouverte h,, A x tx t |LgxLhx||gtht|e dt|ht|e dt. 02A Dmontrer que les deux fonctionsLgLhsont quivalentes lorsque le relxtend vers h. II-4.Une conjecture: Comparer les transformes de Laplace des fonctionsFet. Est-il possible de proposer un quivalent �la fonctionF�l' infini?

Troisime partie Le but de cette partie est d'tablir le rsultat suggrpar la question II-4. III-1.Fonction k: Dans cette question,xest un rel fixstrictement positif. Soitk:tktla fonction dfinie par la relation suivante :  n xi n t kte.  n! n0 a. Dmontrer que, pour tout relxfix, la fonctionk:tktest dfinie et continue sur la droite relleR, priodique et de priode 2.

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En d�duire la valeur de l' int�graleJci-dessous au moyen du r�elFx. 2 2 J|kt|dt. 0

2 b. Calculerkt. En d�duire une expression de |kt| .  c. En d�duire l'expression deFxau moyen de l' int�graleexp 2xcost dt. 0 III-2.Trois fonctions auxiliaires: tant donn�un r�elxstrictement positif, soienth1,h2eth3les trois fonctions suivantes : expx t /2 1 h1xexpxcost dt;h2xdt; 1t 0 0 1 h3xexpx t1t dt. 0 a. Justifier l'existence de ces trois int�grales. b. En effectuant d'abord le changement de variableu1tdans l' int�grale servant calculerh2x, d�terminerun �quivalent deh2xlorsque le r�elxtend vers l' infini. c. D�terminer de même un �quivalent deh3xlorsque le r�elxtend vers l' infini.   u Le r�sultat ci-contre est admis :due u. 02

d. tablir la propri�t�suivante : il existe une constanteCtelle que, pour tout r�elude l' intervallesemi-ouvert0, 1, la relation ci-dessous soit vraie : 1 1  C1u. 2  1u21u

e. D�duire des r�sultats pr�c�dents un �quivalent deh1xl' infini.

III-3 �quivalent de la fonctionFà l'infini: D�duire des r�sultats pr�c�dents un �quivalent de la fonctionFl' infini.

FIN DU PROBLÈME

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